2009-2010学年度高二第二学期期末考试数学丰台理科卷(定稿)
2009-2010学年度高二第二学期期末考试数学试题(理科)2010.7
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在复平面内，复数z??3?i对应的点位于（ ）．
(A) 第一象限
(B) 第二象限
(C) 第三象限
(D) 第四象限
1，如果他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是（ ）． 32424(A) (B) (C) (D)
9927271x1xx3． “因为指数函数y?a是增函数，而y?()是指数函数，所以y?()是增函数．”在以上三段论
222．小王通过某种英语测试的概率是推理中（ ）． (A)大前提错误 (C) 推理形式错误
广告费x（万元） 销售额y（万元） (Ｂ) 小前提错误
(D) 大前提、小前提、推理形式错均正确
4．某种产品的广告费支出x与销售额y之间的关系如下表：
2 30 4 40 5 60 6 50 8 70 ??6.5x?17.5，当广告费支出5万元时，残差为（ ）． y与x的线性回归方程为y (A) 10
(B) 20
6(C) 30 (D) 40
5．已知(x?)的展开式中的常数项为（ ）．
(A) 10
(B) 20
(C) 30
(D) 120
1x6．甲、乙、丙三家公司承包6项工程，甲承包3项，乙承包2项，丙承包1项．不同的承包方案有（ ）．
(A) 720种 (B) 127种 (C) 60种 (D) 24种
6267．设(1?x)?a0?a1x?a2x?????a6x，则a1?a2?a3?????a6的值为（ ）．
(A) 31 (B) 32
2(C) 63 (D) 64
8．已知随机变量?服从正态分布N(2,?),P(??4)?0.84，则P(??0)的值为（ ）．
(A) 0.16
(B) 0.32
(C) 0.68
(D) 0.84
9．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）．
(A) 60
(B) 48
(C) 36
(D) 30
ex10．曲线y?在点(2,f(2))处的切线的斜率为（ ）．
x(A) ?
12e 4
(B)
12e 41 / 5
(C)
32e 4(D) e
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11．由直线x?
11，x?2，曲线y?及x轴所围成的图形面积为（ ）． 2x15117(A) (B) (C) ln2
424(D) 2ln2
x2-2x12．函数f(x)=的图象大致是（ ）． xe
y y y y O x O x O (C) x O x (D)
(A) (B)
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．请将答案填在题中横线上． 13．复数
1?2i12等于______________．??i 3?4i55?14．定积分
?20sinxdx等于 _______．1
115
41616．已知ai?0(i?1,2,3,...,n)，观察下列不等式：
15．若X～B(5,)，则DX的值为_________．
a1?a2?a1?a2； 2a1?a2?a33?a1?a2?a3；
3a1?a2?a3?a44?a1?a2?a3?a4；
4……；
由以上不等式，我们可以推测到一个对a1，a2，…，an也成立的不等式为 ．
a1?a2?...?ann?a1a2???an
n17．要从5名男生和2名女生中选出3人去参加演讲比赛，则3人中男
5女生均不少于1人的概率是____（结果用最简分数表示）．
718．如图所示，在杨辉三角中，斜线上方从1开始按箭头所示的数组成一个锯齿形数列1 ，3，3，4，6，5，10，……，记此数列为
{an}，则a21=__________．66
三、解答题：本大题共4个小题，共34分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
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19．（本小题满分9分）
已知函数f(x)?x?3x?9x?1．求函数f(x)的单调区间和极值．
19．解：f?(x)?3x?6x?9 ………………2分 令 f?(x)?0，解得x1??1，x2?3． ………………4分
列表讨论f(x)、f?(x)的变化情况：
232x (??,?1) ? ?1 0 极大值6 (?1,3) 3 (3,??) ? ………………7分
f?(x) ? 0 极小值?26 f(x) 所以，f(x)的单调递增区间为(??,?1)、(3,??)；
f(x)的单调递减区间为(?1,3)； ………………8分
当x??1时，f(x)的极大值是f(?1)?6；
当x?3时，f(x)的极小值是f(3)??26． ………………9分
20．（本小题满分９分）
某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核．规定：只能通过前一轮考核才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该高校的自主招生考试．学
生甲三轮考试通过的概率分别为
234，，，且各轮考核通过与否相互独立． 345（１）求甲通过该高校自主招生考试的概率；
（２）若学生甲每通过一轮考核，则家长奖励人民币1000元作为大学学习的教育基金．记学生甲得
到教育基金的金额为X，求X的分布列和均值．
20．解：（１）设“学生甲通过该高校自主招生考试”为事件A，
则P(A)?2342???， 34552． ………………3分 5（２）X的可能取值为0元，1000元，2000元，3000元． ………………4分
21P(X?0)?1??， ………………5分
33231P(X?1000)??(1?)?， ………………6分
3462311P(X?2000)????， ………………7分
34510所以学生甲通过该高校自主招生考试的概率为
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2342P(X?3000)????．
3455所以，X的分布列为 1000 0 X 11 P 36均值为E(X)?0??1000?2000 1 103000 2 5 11124700 ………………9分 ?2000??3000??361053
21．（本小题满分8分）
已知数列{aann}满足a1=1，an?1?2a．
n?1（1）计算a2，a3，a4的值；
（2）猜想an的表达式，并用数学归纳法证明． 21．解：（1）aa12?2a?13，aa21a313?2a?，a4??． 1?12?152a3?17 （2）由（1）可以猜想a1n?2n?1． 用数学归纳法证明： ⅰ）当n?1时，a11?2?1?1?1，所以当n?1时猜想成立． ⅱ）假设当n?k(k?N*)时猜想成立，即a1k?2k?1，
当n?k?1时，
11a?ak2a?2k?1?11k?1 k?12?122?k2?k1?1?2k?1?2(k2k?1?1?1)?12k?1所以当n?k?1时猜想也成立．
由ⅰ）和ⅱ）可知，猜想对任意的n?N*都成立． 所以a?1n2n?1．
22．（本小题满分8分）
已知函数f(x)?xlnx?ax，（a?R）． （1）若a?0，求f(x)的最小值；
（2）若对任意x?[1,??)，都有f(x)??1成立，求实数a的取值范围．
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………………3分………………4分 ………………5分
………………8分
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22．解： f(x)的定义域为(0，+?)． ………………1分
（Ⅰ）当a?0时，f?(x)?1?lnx. ………………2分
1； e1令f?(x)?0，解得0?x?.
令f?(x)?0，解得x?e从而f(x)在(0,1e)单调递减，在(1e,+?)单调递增.
所以，当x?11e时，f(x)取得最小值?e. （Ⅱ）解：依题意，得f(x)??1在[1，??)上恒成立，
即不等式a??(lnx?1x)对于x?[1,??)恒成立．
设g(x)?lnx?1x， 则g?(x)?11x?1x?x2?x2． 当x?1时，因为g?(x)?x?1x2?0，
故g(x)在(1，??)上是增函数，
所以 g(x)的最小值是g(1)?1，从而?g(x)的最大值是?g(1)??1．所以a的取值范围是[?1,??)．
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4分
………………8分 ………………
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