函数及导数中任意性和存在性问题探究

. - -

函数与导数中任意性和存在性问题探究

命题人：闫霄 审题人：昀山

一、相关结论：

结论1：?x?[a,b],f(x)?m?[f(x)]min?m； 结论2：?x?[a,b],f(x)?m?[f(x)]max?m； 结论3：?x?[a,b],f(x)?m?[f(x)]max?m； 结论4：?x?[a,b],f(x)?m?[f(x)]min?m；

结论5：?x1?[a,b],?x2?[c,d],f(x1)?g(x2)?[f(x)]min?[g(x)]max；【如图一】 结论6：?x1?[a,b],?x2?[c,d],f(x1)?g(x2)?[f(x)]max?[g(x)]min；【如图二】 结论7：?x1?[a,b],?x2?[c,d],f(x1)?g(x2)?[f(x)]min?[g(x)]min；【如图三】 结论8：?x1?[a,b],?x2?[c,d],f(x1)?g(x2)?[f(x)]max?[g(x)]max；【如图四】

. 可修编-

结论9：?x1?[a,b],?x2?[c,d],f(x1)?g(x2)?f(x)的值域和g(x)的值域交集不为空； 结论10：?x1?[a,b],?x2?[c,d],f(x1)?g(x2)?f(x)的值域是g(x)的值域的子集 【例题1】：已知两个函数f(x)?8x2?16x?k,g(x)?2x3?5x2?4x,x?[?3,3],k?R;

(1) 若对?x?[?3,3],都有f(x)?g(x)成立，数k的取值围； (2) 若?x?[?3,3],使得f(x)?g(x)成立，数k的取值围； (3) 若对?x1,x2?[?3,3],都有f(x1)?g(x2)成立，数k的取值围；

解：（1）设h(x)?g(x)?f(x)?2x3?3x2?12x?k（,1）中的问题可转化为：x?[?3,3]时，h(x)?0恒成立，即[h(x)]min?0。

h'(x)?6x2?6x?12?6(x?2)(x?1)；当x变化时，h(x),h'(x)的变化情况列表如下：

x -3 (-3,-1) -1 (-1,2) 2 (2,3) 3 h?(x) + 0 － 0 + h(x) k-45 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 k-9 因为h(?1)?k?7,h(2)?k?20,

所以，由上表可知[h(x)]min?k?45，故k-45≥0，得k≥45,即k∈[45,+∞).

小结：①对于闭区间I，不等式f(x)k对x∈I时恒成立?[f(x)]min>k, x∈I.

②此题常见的错误解法：由[f(x)]max≤[g(x)]min解出k的取值围.这种解法的错误在于条件“[f(x)]max≤[g(x)]min”只是原题的充分不必要条件，不是充要条件，即不等价. （2）根据题意可知，（2）中的问题等价于h(x)= g(x)－f(x) ≥0在x∈[-3,3]时有解,故[h(x)]max≥0.

由（1）可知[h(x)]max= k+7，因此k+7≥0，即k∈[-7,+∞). (3)根据题意可知，（3）中的问题等价于[f(x)]max≤[g(x)]min，x∈[-3,3].

. - -

由二次函数的图像和性质可得, x∈[-3,3]时, [f(x)]max=120－k. 仿照（1），利用导数的方法可求得x∈[-3,3]时, [g(x)]min=－21. 由120－k≥－21得k≥141,即k∈[141,+∞). 说明：这里的x1,x2是两个互不影响的独立变量.

从上面三个问题的解答过程可以看出,对于一个不等式一定要看清是对“?x”恒成立，还是“?x”使之成立，同时还要看清不等式两边是同一个变量，还是两个独立的变量,然后再根据不同的情况采取不同的等价条件,千万不要稀里糊涂的去猜..

【例题2】：(2010年理科22) 已知函数f(x)?lnx?ax?1?ax?1(a?R); (1) 当a?12时，讨论f(x)的单调性； （2）设g(x)?x2?2bx?4，当a?14时，若对?x1?(0,2)，?x2?[1,2],使f(x1)?g(x2)，数b的取值围；

解：（1）（解答过程略去，只给出结论）

当a≤0时，函数f(x)在（0,1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；

当a=

12时，函数f(x)在（0，+∞）上单调递减； 当0

（2）函数的定义域为（0，+∞），

f?（x）=1a?1ax2?x?1?ax－a+x2=－x2，a=14时，由f?（x）=0可得x1=1,x2=3. 因为a=

14∈（0,12），x2=3?（0,2）,结合（1）可知函数f(x)在（0,1）上单调递减，在（1,2）上单调递增，所以f(x) 在（0,2）上的最小值为f(1)= －12.

由于“对?x1∈（0,2），?x2∈[1,2],使f(x1) ≥g(x2)”等价于“g(x)在[1,2]上的最小值不大

于f(x) 在（0,2）上的最小值f(1)= －12”. （※）

又g(x)=(x－b)2

+4－b2

, x∈[1,2],所以

. 可修编-

① 当b<1时，因为[g(x)]min=g(1)=5－2b>0,此时与（※）矛盾； ② 当b∈[1,2]时, 因为[g(x)]min=4－b2

≥0，同样与（※）矛盾；

③ 当b∈（2，+∞）时，因为[g(x)]min=g(2)=8－4b.

解不等式8－4b≤－

1172，可得b≥8. 综上，b的取值围是[178,+∞).

二、相关类型题：

类型一：直接求最值（往往需带参讨论） 例3：

. - -

类题：

例4： . 可修编-

类题：