新课标高级中学数学必修二第四章圆与方程精彩资料例题含规范标准答案

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习题精选精讲圆标准方程

已知圆心C(a,b)和半径r，即得圆的标准方程(x?a)心C(a,b)和半径r，进而可解得与圆有关的任何问题.

一、求圆的方程

例1 (06重庆卷文) 以点(2,?1)为圆心且与直线3x?4y?5?(A)(x?2)(C)(x?2)222?(y?b)2?r2；已知圆的标准方程(x?a)2?(y?b)2?r2，即得圆

0相切的圆的方程为( )

?(y?1)2?3 (B)(x?2)2?(y?1)2?3 ?(y?1)2?9 (D)(x?2)2?(y?1)2?9

解 已知圆心为(2,?1)，且由题意知线心距等于圆半径，即d故选(C).

点评：一般先求得圆心和半径，再代入圆的标准方程(x?a)二、位置关系问题

例2 (06安徽卷文) 直线x?(A)(0,(C)(?2?6?4?532?42

?3?r，∴所求的圆方程为(x?2)2?(y?1)2?9，

?(y?b)2?r2即得圆的方程.

y?1与圆x2?y2?2ay?0(a?0)没有公共点，则a的取值范围是( )

2?1) (B)(2?1,2?1) 2?1,2?1) (D)(0,2?1)

2解 化为标准方程x∵直线

?(y?a)2?a2，即得圆心C(0,a)和半径r?a.

x?y?1与已知圆没有公共点，∴线心距d?a?12?r?a，平方去分母得

a2?2a?1?2a2，解得

?2?1?a?2?1，注意到a?0，∴0?a?2?1，故选(A).

点评：一般通过比较线心距d与圆半径r的大小来处理直线与圆的位置关系：d?r?线圆相离；d?r?线圆相切；d?r?线

圆相交.

三、切线问题

例3 (06重庆卷理) 过坐标原点且与圆x(A)

2?y2?4x?2y?5?0相切的直线方程为( ) 211x (B)y?3x或y??x 3311(C)y??3x或y??x (D)y?3x或y?x

335522解 化为标准方程(x?2)?(y?1)?,即得圆心C(2,?1)和半径r?.

222k?15设过坐标原点的切线方程为y?kx，即kx?y?0，∴线心距d?，平方去分母得(3k?1)(k?3)?0，解得?r?22k?111k??3或，∴所求的切线方程为y??3x或y?x，故选(A).

33点评：一般通过线心距d与圆半径r相等和待定系数法，或切线垂直于经过切点的半径来处理切线问题.

y??3x或y?四、弦长问题

y?3?0与圆(x?1)2?(y?2)2?4相交于A、B两点，且弦AB的长为23，则a? .

22解 由已知圆(x?1)?(y?2)?4，即得圆心C(1,2)和半径r?2.

例4 (06天津卷理) 设直线ax?a?12AB2)?(3)2?22，即(a?1)2?a2?1，解得a?0. )?r2，∴(2a2?1a2?1AB22)?r2. 点评：一般在线心距d、弦长AB的一半和圆半径r所组成的直角三角形中处理弦长问题：d?(2∵线心距d?a?1，且d2?(五、夹角问题

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例5 (06全国卷一文) 从圆x(A)

2?2x?y2?2y?1?0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( )

313 (B) (C) (D) 0

22522解 已知圆化为(x?1)?(y?1)?1，即得圆心C(1,1)和半径r?1.

设由

P(3,2)向这个圆作的两条切线的夹角为?，则在切线长、半径

r和

PC构成的直角三角形中，

cos?2?25，∴

cos??2cos2?2?1?3，故选(B). 5点评：处理两切线夹角?问题的方法是：先在切线长、半径r和夹角?问题.

六、圆心角问题

PC所构成的直角三角形中求得

?的三角函数值，再用二倍角公式解决22)的直线l将圆(x?2)2?y2?4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k? .

22解 由已知圆(x?2)?y?4，即得圆心C(2,0)和半径r?2.

例6 (06全国卷二) 过点(1,设P(1,2)，则kPC??2；∵PC?直线l时弦最短，从而劣弧所对的圆心角最小，∴直线l的斜率k??1kPC?22.

点评：一般利用圆心角及其所对的弧或弦的关系处理圆心角问题：在同圆中，若圆心角最小则其所对的弧长与弦长也最短，若弧长与弦长最短则所对的圆心角也最小.

七、最值问题

例7 (06湖南卷文) 圆x2?y2?4x?4y?10?0上的点到直线x?y?14 ?0的最大距离与最小距离的差是( )

2 (D)52 22解 已知圆化为(x?2)?(y?2)?18，即得圆心C(2,2)和半径r?32.

(A) 30 (B) 18 (C)6设线心距为d，则圆上的点到直线x?选(C).

点评：圆上一点到某直线距离的最值问题一般转化为线心距d与圆半径r的关系解决：圆上的点到该直线的最大距离为d为dy?14?0的最大距离为d?r，最小距离为d?r，∴(d?r)?(d?r)?2r?62，故

?r，最小距离

?r.

八、综合问题

例8 (06湖南卷理) 若圆x2?y2?4x?4y?10?0上至少有三个不同的点到直线l:ax?by?0的距离为22，则直线l的倾斜

角的取值范围是( )

?5????,] (B)[,] (C)[,] (D)[0,] 124121263222解 已知圆化为(x?2)?(y?2)?18，即得圆心C(2,2)和半径r?32.

(A)[∵圆上至少有三个不同的点到直线l??:ax?by?0的距离为22，∴d?2a?2ba2?b2?r?22?2，即a2?4ab?b2?0，

a?5?2?2?3，tan?2?3，∴直线l的代入得k?4k?1?0，解得2?3?k?2?3，又tanb1212?5?,]，故选(B). 倾斜角的取值范围是[1212由直线l的斜率k??点评：处理与圆有关的任何问题总是先通过圆的标准方程，进而以“圆心半径线心距”的七字歌得到正确而迅速地解决.

圆的方程

1. 确定圆方程需要有三个互相独立的条件.圆的方程有两种形式，要注意各种形式的圆方程的适用范围.

(1) 圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中(a，b)是圆心坐标，r是圆的半径；

(2)

DE,?圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0)，圆心坐标为(?22)，半径为r＝

D2?E2?4F2

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2. 直线与圆的位置关系的判定方法.

(1) 法一：直线：Ax＋By＋C＝0；圆：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.

???0?相交?Ax?By?C?0?判别式??一元二次方程??消元???0?相切 ?22x?y?Dx?Ey?F?0????0?相离?(2) 法二：直线：Ax＋By＋C＝0；圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心(a，b)到直线的距离为d＝

?d?r?相交Aa?Bb?C???d?r?相切.

A2?B2?d?r?相离?3. 两圆的位置关系的判定方法.

设两圆圆心分别为O1、 O2，半径分别为r1、 r2， ｜O1O2｜为圆心距，则两圆位置关系如下： ｜O1O2｜＞r1＋r2?两圆外离； ｜O1O2｜＝r1＋r2?两圆外切；

｜r1－r2｜＜｜O1O2｜＜r1＋r2?两圆相交； ｜O1O2｜＝｜r1－r2｜?两圆内切； ０＜｜O1O2｜＜｜r1－r2｜?两圆内含. ●点击双基

1.方程x2+y2－2（t+3）x+2（1－4t2）y+16t4+9=0（t∈R）表示圆方程，则t的取值范围是

111 B.－10，得7t2－6t－1<0，即－

7A.－1

2.点P（5a+1，12a）在圆（x－1）2+y2=1的内部，则a的取值范围是 A.｜a｜＜1 B.a＜

111C.｜a｜＜ D.｜a｜＜ 13513｜a｜＜

解析：点P在圆（x－1）2+y2=1内部?（5a+1－1）2+（12a）2＜1?

1.答案：D 133.已知圆的方程为（x－a）2+（y－b）2=r2（r>0），下列结论错误的是 A.当a2+b2=r2时，圆必过原点B.当a=r时，圆与y轴相切 C.当b=r时，圆与x轴相切D.当b

●典例剖析

【例2】 一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为27，求此圆的方程. 剖析： 利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.

解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上，故设圆方程为（x－3b）2+（y－b）2=9b2. 又因为直线y=x截圆得弦长为2（x－3）2+（y－1）2=9

7，则有（

|3b?b|2）2+（

7）2=9b2，解得b=±1.故所求圆方程为

或（x+3）2+（y+1）2=9.

夯实基础

1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的曲线关于x+y=0成轴对称图形，则 A.D+E=0B. B.D+F=0 C.E+F=0 D. D+E+F=0

解析：曲线关于x+y=0成轴对称图形，即圆心在x+y=0上.答案：A

2.（2004年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

解析：分别以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求.答案：B

3.（2005年黄冈市调研题）圆x2+y2+x－6y+3=0上两点P、Q关于直线kx－y+4=0对称，则k=____________. 解析：圆心（－

1，3）在直线上，代入kx－y+4=0，得k=2.答案：2 2|?10|=2.再由d－r=2－1=1，知最小距离为1.答案：1 54.（2004年全国卷Ⅲ，16）设P为圆x2+y2=1上的动点，则点P到直线3x－4y－10=0的 距离的最小值为____________. 解析：圆心（0，0）到直线3x－4y－10=0的距离d=

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5.（2005年启东市调研题）设O为坐标原点，曲线x2+y2+2x－6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足OP·OQ=0.（1）求m的值；（2）求直线PQ的方程.

解：（1）曲线方程为（x+1）2+（y－3）2=9表示圆心为（－1，3），半径为3的圆.

∵点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称，∴圆心（－1，3）在直线上.代入得m=－1. （2）∵直线PQ与直线y=x+4垂直， ∴设P（x1，y1）、Q（x2，y2），PQ方程为y=－x+b.将直线y=－x+b代入圆方程，得2x2+2（4－b）x+b2－6b+1=0.

2b?6b?1Δ=4（4－b）2－4×2×（b2－6b+1）>0，得2－32

2b2?6b?12

y1·y2=b－b（x1+x2）+x1·x2=+4b.∵OP·OQ=0，∴x1x2+y1y2=0，即b2－6b+1+4b=0.

2解得b=1∈（2－32，2+32）.∴所求的直线方程为y=－x+1.

培养能力

7.已知实数x、y满足方程x2+y2－4x+1=0.求（1）（3）x2+y2的最大值和最小值.

解：（1）如图，方程x2+y2－4x+1=0表示以点（2，0）为圆心，以

y POC(2,0)x y的最大值和最小值；（2）y－x的最小值； x3为半径的圆.

设

|2k?0|y=k，即y=kx，由圆心（2，0）到y=kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.由=3，

2xk?1 解得k2=3.所以kmax=

3，kmin=－3.

|2?0?b|2=

（2）设y－x=b，则y=x+b，仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时，纵轴截距b取最小值.由点到直线的距离公式，得即b=－2±

3，

6，故（y－x）min=－2－6.

（3）x2+y2是圆上点与原点距离之平方，故连结OC，与圆交于B点，并延长交圆于C′，则（x2+y2）max=｜OC′｜=2+

3，（x2+y2）min=｜OB｜

=2－3.

8.（文）求过两点A（1，4）、B（3，2），且圆心在直线y=0上的圆的标准方程.并判断点M1（2，3），M2（2，4）与圆的位置关系. 解：根据圆的标准方程，只要求得圆心坐标和圆的半径即可.

因为圆过A、B两点，所以圆心在线段AB的垂直平分线上.由kAB=

4?2=－1，AB的中点为（2，3）， 1?3故AB的垂直平分线的方程为y－3=x－2，即x－y+1=0.又圆心在直线y=0上，因此圆心坐标是方程组 x－y+1=0，

y=0 的解，即圆心坐标为（－1，0）. 半径r=

(?1?1)2?(0?4)2=20，所以得所求圆的标准方程为（x+1）2+y2=20.

(2?1)2?(3?0)2=18，|M1C|

因为M1到圆心C（－1，0）的距离为|M2C|=

“求经过两圆x2(2?1)2?(4?0)2=25>20，所以M2在圆C外.

?y2?6x?4?0和x2?y2?6y?28?0的交点，并且圆心在直线x?y?4?0上的圆的方程。”同学们普遍使用下

面两种方法求解：

方法—：先求出两已知圆交点r，于是可得所求圆方程。

方法二：先求出两已知圆交点入x?A1??1,3?,A2??6,?2?，再设圆心坐标为B(b?4,b)，根据A1B?A2B?r，可求出圆心坐标及半径

EA1??1,3?,A2??6,?2?，再设所求圆的方程为：x2?y2?Dx?Ey?F?0,其圆心为??D2,?2?，代

y?4?0，再将A1,A2两点坐标代入所设圆的方程，可得三个关于D,E,F的三元一次方程组，求出D,E,F的值，这样便可得所求圆的方

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程。

但是如果我们利用“过两已知圆交点的圆系”的方法求解，可以更加方便。

经过两已知圆的交点的圆系

设圆C1与C2的方程为： C1: C2:

x2?y2?D1x?E1y?F1?0 x2?y2?D2x?E2y?F2?0.

并且两圆相交于两点。引进一个参数?，并令：

x2?y2?D1x?E1y?F1+?（x2?y2?D2x?E2y?F2）=0 ——① 其中??-1。

引进两个参数?1和?2，并令：

?1（x2?y2?D1x?E1y?F1）+?2（x2?y2?D2x?E2y?F2）=0 ——② 其中?1+?2?0

不论参数取何值，方程①与②中的x2项和y2项的系数相等，方程没有xy项，而且两已知圆的两个交点的坐标适合方程①与②，所以①与②都是经过两已知圆的交点的圆系，但是①与②稍有不同：

⑴ 当?=0时，方程①的曲线就是圆C1;不论?为何值，方程①的曲线都不会是圆C2。所以方程①表示经过两已知圆的交点的一切圆，包括圆C1在内，但不包括圆C2。

⑵ 当?1=0时，方程②的曲线就是圆C2；当?2=0时，方程②的曲线就是圆 C1。所以方程②表示经过两已知圆的交点的一切圆，包括圆C1和圆C2在内。

下面应用圆系来解本文前面的问题：

设经过已知两圆的交点的圆的方程为：

x2?y2?6x?4??(x2?y2?6y?28)?0. （??-1）则其圆心坐标为(?33?,?) 1??1??33?+－4=0， 解得?=-7 1??1??222222∴ 所求圆的方程为：x?y?6x?4－7(x?y?6y?28)?0即：x?y?x?7y?32?0

∵ 所求圆的圆心在直线x?y?4?0上∴ ?下面再举两例说明圆系的应用 例1． 求经过两已知圆：x

2?y2?4x?6?0和x2?y2?4y?6?0的交点且圆心的横坐标为3的圆的方程。

解： 设经过两已知圆交点的圆系的方程为：

x2?y2?4x?6??(x2?y2?4y?6)?0 （??-1）

221其圆心的横坐标为：x? ，令 =3 得 ???

1??1??31222222∴ 所求圆的方程为：x?y?4x?6?(x?y?4y?6)?0即 x?y?6x?2y?6?0

3例2． 设圆方程为：

(??4)x2?(??4)y2?(2??4)x?(12??40)y?48??164?0 其中??－4

4(x2?y2?x?10y?41)??(x2?y2?2x?12y?48)?0

求证： 不论?为何值，所给圆必经过两个定点。 证明： 把所给方程写为：

这是经过以下两个圆的交点的圆系的方程：

x2?y2?x?10y?41?0 所以，不论?为何值，所给圆必经过这两个圆的两个交点

22x?y?2x?12y?48?02直线与圆的位置关系 二、例题选析

例1：求由下列条件所决定圆x(1)经过点P(?y2?4的圆的切线方程；

3,1)，(2)经过点Q(3,0)，(3)斜率为?1

(3)2?12?4 ∴点P(3,1)在圆上，故所求切线方程为3x?y?4。

解：(1) ?(2)?32?02?4 ∴点Q在圆外。

设切线方程为y?k(x?3)即kx?y?3k?0