第５讲
北京市初二数学竞赛专项训练
与平行线相关的几何结论：
一、线束定理：过一点的三条直线截两条平行线，截得的线段对应成比例．
如图所示，直线l1∥l2，过点O的三条直线分别交l1、l2于A、A?，B、B?，C、C?，求证ABBCAC． ??A?B?B?C?A?C?ABOBOA． ??A?B?OB?OA?BCOBACOA同理可证，． ??B?C?OB?A?C?OA?证明：因为AB∥A?B?，故
ABBCAC． ??A?B?B?C?A?C?特别地，当AB?BC时，有A?B??B?C?，反之亦然.
点评：平行线的这种性质易于理解和掌握，它的证明利用了平行线截线段成比例定理，但它不同于后者，定理只考虑两条平行线上被截得的线段之间的关系，且由一条平行线上被截得的两线段相等，立即可得另一条平行线上被截得的两线段也相等，这一结论是证明两线段相等或线段被平分的重要依据.平行线的这一性质还可推广到两条平行线被过一点的n条直线所截的情形，即“过一点的n(n?3，n?N)条直线截两条平行线，截得的线段对应成比例.”因为过一点的若干条直线叫作线束，故该定理叫作线束定理．
故
二、线段等式：
111??． xyz111??. xyzDBF如图所示，AB∥CD∥EF.若AB?x，CD?y，EF?z，则证明：由题意可得zz??1， xy111即??． xyzzAEzCE，?， ?yACxCA则
三、线段等式：EF?
AEC1?AB?CD. 1??1??
在梯形ABCD中，EF平行于两条底边,交BC和DA于EF,其中立EF?BEAF???,则有如下等式成ECFD1?AB?CD． 1??1??证明：由面积关系有：
S?ABF?S?BEC?S?FCD?S?ABE?S?BEC?S?ECD?S梯形ABCD?S?ABC?S?ACD?S?ABC?S?BCD
则由S?ABF?S?BEC?S?FCD?S?ABC?S?BCD
11111得到sin??AB?BF?sin??EF?BC?sin??CD?FC?sin??AB?BC?sin??CD?BC
22222(?为底边和腰BC的夹角)
所以AB?BF?EF?BC?CD?FC?AB?BC?CD?BC 即EF?BC?AB??BC?BF??CD??BC?CF?
CFBF1?AB?CD，即EF?AB?CD． BCBC1??1??这条关系式也可以通过平移梯形的腰，将梯形转化为三角形后用平行线截线段成比例定理证明．
可化简为EF?
板块一：线束定理
【例 1】 如图所示，已知D、E是?ABC的边AC、AB上的点，BD、CE交于O，AO的延长线交BC 于M.若DE∥BC，求证AM是?ABC的中线．
AENODBMC
【例 2】 如图所示，M、N分别是矩形的边AD、BC的中点，在CD 的延长线上取点P，PM交对角
线AC于Q，求证NM平分?PNQ.
PDCMQANB
【例 3】 如图所示，在?ABC中，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，DM、DN分别是?CDB和
求证PQ?CD. ?CDA的角平分线，MN交CD于O，EO、FO的延长线分别交AC、BC于Q、P，
AQNFOBPMECD
【例 4】 如图所示，H是?ABC的高AD上的任意一点，BH、CH分别交AC、AB于E、F，求证
?EDH??FDH．
AFHEBDC
【例 5】 如图所示，AD是?ABC的外接圆⊙O的直径，过D的切线交CB的延长线于P，PO 分别交AB、
AC于M、N，求证OM?ON.
奥数-第5讲线束定理、相似-竞赛班学生版
