基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、选择题
?y≤－x＋2，
1.(2016·景德镇模拟)不等式组?y≤x－1，所表示的平面区域的面积为(
?y≥0
A.1
1 B.2
1C.3
1D.4
)
解析 作出不等式组对应的区域为△BCD，由题意知xB??y＝－x＋2，11
＝1，xC＝2.由?得yD＝2，所以S△BCD＝2×(xC
??y＝x－1，11
－xB)×2＝4. 答案 D
?x－y≤0，
2.(2015·北京卷)若x，y满足?x＋y≤1，则z＝x＋2y的最大值为(
?x≥0，
A.0
B.1
3C.2
D.2
11
解析 可行域如图所示.目标函数化为y＝－2x＋2z， 11
当直线y＝－2x＋2z，过点A(0，1)时，z取得最大值2. 答案 D
)
?y≤－x＋1，
3.(2016·长春质量监测)若x，y满足约束条件?y≤x＋1，则3x＋5y的取值范围
?y≥0，
是( ) A.[－5，3] C.[－3，3]
B.[3，5] D.[－3，5]
解析 作出如图所示的可行域及l0：3x＋5y＝0，平行移动l0到l1过点A(0，1)时，3x＋5y有最大值5，平行移动l0至l2过点B(－1，0)时，3x＋5y有最小值
－3，故选D.
答案 D
?x＋y－2≤0，
4.(2014·安徽卷)x，y满足约束条件?x－2y－2≤0，若z＝y－ax取得最大值的最
?2x－y＋2≥0.
优解不唯一，则实数a的值为( ) 1
A.2或－1 C.2或1
1B.2或2 D.2或－1
解析 如图，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，故当a＞0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a＜0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1. 答案 D
?x＋y≤1，
5.(2016·汉中诊断)已知不等式组?x－y≥－1，所表示的平面区域为D，若直线y
?y≥0
＝kx－3与平面区域D有公共点，则k的取值范围为( ) 1??1??
B.?－∞，－3?∪?3，＋∞? ?????11?
C.(－∞，－3]∪[3，＋∞) D.?－3，3?
??A.[－3，3]
解析 依据线性约束条件作出可行域如图阴影部分所示，注意到y＝kx－3过定点(0，－3).∴斜率的两个端点值为－3，3，两斜率之间存在斜率不存在的情况，∴k的取值范围为(－∞，－3]∪[3，＋∞)，故选C.
答案 C 二、填空题
?x－1≥0，y
6.(2015·全国Ⅰ卷)若x，y满足约束条件?x－y≤0，则x的最大值为________.
?x＋y－4≤0，
解析 画出可行域如图阴影所示，
y
∵x表示过点(x，y)与原点(0，0)的直线的斜率，
y
∴点(x，y)在点A处时x最大. ???x＝1，?x＝1，由? 得? ???x＋y－4＝0，?y＝3.
y
∴A(1，3).∴x的最大值为3. 答案 3
?x＋y－3≥0，
7.(2016·石家庄模拟)若不等式组?y≤kx＋3，表示的平面区域为一个锐角三角
?0≤x≤3
形及其内部，则实数k的取值范围是________. 解析 直线y＝kx＋3恒过定点(0，3).作出可行域知，要使可行域为一个锐角三角形及其内部，需要直线y＝kx＋3的斜率在0与1之间，即k∈(0，1). 答案 (0，1)
?2x＋y≥0，
8.(2015·郑州质量预测)已知实数x，y满足?x－y≥0，设b＝x－2y，若b的最小
?0≤x≤a，
值为－2，则b的最大值为________.
解析 作出不等式组满足的可行域如图阴影部分所示.作出直线l0：x－2y＝0， xb∵y＝2－2，
∴当l0平移至A点处时b有最小值，bmin＝－a， 又bmin＝－2，∴a＝2，
当l0平移至B(a，－2a)时，b有最大值bmax＝a－2×(－2a)＝5a＝10. 答案 10 三、解答题
?x－y＋5≥0，
9.画出不等式组?x＋y≥0，表示的平面区域，并回答下列问题：
?x≤3
(1)指出x，y的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？
解
?x－y＋5≥0，
(1)不等式组?x＋y≥0，表示的平面区域如图所示.
?x≤3
?5?
结合图中可行域得x∈?－2，3?，y∈[－3，8].
??－x≤y≤x＋5，??
(2)由图形及不等式组知?5
－≤x≤3，且x∈Z，??2当x＝3时，－3≤y≤8，有12个整点； 当x＝2时，－2≤y≤7，有10个整点； 当x＝1时，－1≤y≤6，有8个整点； 当x＝0时，0≤y≤5，有6个整点；
当x＝－1时，1≤y≤4，有4个整点； 当x＝－2时，2≤y≤3，有2个整点；
∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个).
10.制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
解 设投资人分别用x万元，y万元投资甲、乙两个项目，由题意知
?0.3x＋0.1y≤1.8，
?x≥0，
?y≥0，
目标函数z＝x＋0.5y.
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即为可行域.
将z＝x＋0.5y变形为y＝－2x＋2z，这是斜率为－2随z变化的一组平行线，当直线y＝－2x＋2z经过可行域内的点M时，直线y＝－2x＋2z在y轴上的截距2z最大，
z也最大.这里M点是直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点.解方程组?x＋y＝10，?得x＝4，y＝6， 0.3x＋0.1y＝1.8，?
此时z＝4＋0.5×6＝7(万元). ∴当x＝4，y＝6时，z取得最大值，
所以投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大.
能力提升题组 (建议用时：20分钟)
x＋y≤10，
创新设计高考数学北师大理科一轮复习练习：第章 不等式 第讲 含答案
