第9章数学形态学原理 （第一讲）
9.1 数学形态学的发展
“数学形态学（Mathematical Morphology）是一种应用于图像处理和模式识别领域的新的方法。形态学是生物学的一个分支,常用它来处理动物和植物的形状和结构。
“数学形态学”的历史可追溯到十九世纪的Eular.steiner.Crofton和本世纪的
Minkowski。1964年，法国学者J.Serra对铁矿石的岩相进行了定量分析，以预测铁矿石的可轧性。几乎在同时，G.Matheron研究了多孔介质的几何结构、渗透性及两者的关系，他们的研究成果直接导致“数学形态学”雏形的形成。
随后，J.Serra和G.Matheron在法国共同建立了枫丹白露（Fontainebleau）数学形态学研究中心。在以后的几年的研究中，他们逐步建立并进一步完善了“数学形态学”的理论体系，此后，又研究了基于数学形态学的图像处理系统。
“数学形态学”是一门建立在严格的数学理论基础上的科学。G.Matheron 于1973年出版的《Ensembles aleatoireset geometrie integrate》一书严谨而详尽地论证了随机集论和积分几何，为数学形态学奠定了理论基础。1982年，J.Serra出版的专著《Image Analysis and Mathematical Morphology》是数学形态学发展的里程碑，它表明数学形态学在理论上已趋于完备，在实际应用中不断深入。
此后，经过科学工作者的不断努力，J.Serra主编的《Image Analysis and
Mathematical Morphology》Volume2、Volume3相继出版，1986年，CVGIP
（Computer Vision Graphics and Image Processing）发表了数学形态学专辑，从而使得数学形态学的研究呈现了新的景象。同时，枫丹白露研究中心的学者们又相继提出了基于数学形态学方法的纹理分析模型系列，从而使数学形态学的研究前景更加光明。
随着数学形态学逻辑基础的发展，其应用开始向边缘学科和工业技术方面发展。数学形态学的应用领域已不限于传统的微生物学和材料学领域，80年代初又出现了几种新的应用领域，
如：工业控制、放射医学、运动场景分析等。数学形态学在我国的应用研究也很快，目前，已研制出一些以数学形态学为基础的实用图像处理系统，如：中国科学院生物物理研究所和计算机技术研究所负责，由软件研究所、电子研究所和自动化所参加研究的癌细胞自动识别系统等。
数学形态学是一门综合了多学科知识的交叉科学，其理论基础颇为艰深，但其基本观念却比较简单。它体现了逻辑推理与数学演绎的严谨性，又要求具备与实践密切相关的实验技术与计算技术。它涉及微分几何、积分几何、测度论、泛函分
析和随机过程等许多数学理论，其中积分几何和随机集论是其赖以生存的基石。总之，数学形态学是建立在严格的数学理论基础上而又密切联系实际的科学。 用于描述数学形态学的语言是集合论,因此,它可以提供一个统一而强大的工具来处理图像处理中所遇到的问题。利用数学形态学对物体几何结构的分析过程就是主客体相互逼近的过程。利用数学形态学的几个基本概念和运算，将结构元灵活地组合、分解，应用形态变换序列达到分析的目的。 利用数学形态学进行图像分析的基本步骤有如下几步：
1）提出所要描述的物体几何结构模式，即提取物体的几何结构特征；
2）根据该模式选择相应的结构元素，结构元素应该简单而对模式具有最强的表现力；
3）用选定的结构元对图像进行击中与否（HMT）变换，便可得到比原始图像显著突出物体特征信息的图像。如果赋予相应的变量，则可得到该结构模式的定量描述；
4）经过形态变换后的图像突出了我们需要的信息，此时，就可以方便地提取信息；
数学形态学方法比其他空域或频域图像处理和分析方法具有一些明显的优势。如：在图像恢复处理中，基于数学形态学的形态滤波器可借助于先验的几何特征信息利用形态学算子有效地滤除噪声，又可以保留图像中的原有信息；
另外，数学形态学算法易于用并行处理方法有效的实现，而且硬件实现容易；基于数学形态学的边缘信息提取处理优于基于微分运算的边缘提取算法，它不象微分算法对噪声那样敏感，同时，提取的边缘也比较光滑；利用数学形态学方法提取的图像骨架也比较连续，断点少。
数学形态学的核心运算是击中与否变换（HMT），在定义了HMT及其基本运算膨胀（Dilation）和腐蚀(Erosion)后，再从积分几何和体视学移植一些概念和理论，根据图像分析的各种要求，构造出统一的、相同的或变化很小的结构元素进行各种形态变换。在形态算法设计中，结构元的选择十分重要，其形状、尺寸的选择是能否有效地提取信息的关键。
一般情况，结构元的选择本着如下几个原则进行：
1）结构元必须在几何上比原图像简单，且有界。当选择性质相同或相似的结构元时，以选择极限情况为益；
2）结构元的凸性非常重要，对非凸子集，由于连接两点的线段大部分位于集合的外面，故而用非凸子集作为结构元将得不到什么信息。
总之，数学形态学的基本思想和基本研究方法具有一些特殊性，掌握和运用好这些特性是取得良好结果的关键。
9.2数学形态学的基本概念和运算在数学意义上，我们用形态学来处理一些图像,用以描述某些区域的形状如边界曲线、骨架结构和凸形外壳等。另外,我们也用形
态学技术来进行预测和快速处理如形态过滤，形态细化，形态修饰等。而这些处理都是基于一些基本运算实现的。
用于描述数学形态学的语言是集合论。数学形态学最初是建立在集合论基础上的代数系统。它提出了一套独特的变换和概念用于描述图像的基本特征。这些数学工具是建立在积分几何和随机集论的基础之上。这决定了它可以得到几何常数的测量和反映图像的体视性质。
集合代表图像中物体的形状，例如：在二进制图像中所有黑色像素点的集合就是对这幅图像的完整描述。在二进制图像中，当前集合指二维整形空间的成员，集合中的每个元素都是一个二维变量，用(x，y)表示。
按规则代表图像中的一个黑色像素点。灰度数字图像可以用三维集合来表示。在这种情况下，集合中每个元素的前两个变量用来表示像素点的坐标，第三个变量代表离散的灰度值。在更高维数的空间集合中可以包括其它的图像属性，如颜色和时间。
形态运算的质量取决于所选取的结构元和形态变换。结构元的选择要根据具体情况来确定，而形态运算的选择必须满足一些基本约束条件。这些约束条件称为图像定量分析的原则。
9.2.1 数学形态学定量分析原则 9.2.2 数学形态学的基本定义及 基本算法
平移兼容性：
设待分析图像为X，Φ表示某种图像变换或运算，Φ(X)表示X 经变换或运算后的新图像。设Xh为一矢量，X表示将图像h平移一个位移矢量后的结果，那末，平移兼容性原则可表示为：
Φ(Xh)=[Φ(X)]h(9—1)此式说明图像X先平移然后变换的结果与图像先变换后平移的结果是一样的。 尺度变换兼容性：
设缩放因子λ是一个正的实常数，λX表示对图像X 所做的相似变换，则尺度变换兼容性原则可表示如下：
λΦ(X)=Φλ(X)λ1(9—2)
如果设图像运算Φ为结构元B对X的腐蚀(XΘB)，则Φλ为结构元λB对X的腐蚀，则上式可具体化为：
λ(XΘB)=XΘλBλ1(9—3) 局部知识原理：
如果Z是一个图形（“闭集”），则相对于Z存在另一个闭集Z′，使得对于图形X 有下式成立：
(Φ(X?Z))?Z'=Φ(X)?Z'(9—4) 在物理上，可以将Z理解为一个“掩模”。在实际中，观察某一个对象时，每次只能观察一个局部，即某一掩模覆盖的部分X∩Z。 该原则要求对每种确定的变换或运算Φ
模Z，当掩选定以后，都能找到一个相应的模板Z′，使得通过Z′所观察到的局部性质，即(Φ(X?Z))?Z'与整体性质Φ(X)?Z'相一致。 半连续原理：
在研究一幅图像时，常采用逐步逼近的方法，即对图像X的研究往往需要通过一系列图像X1,X2, Xn, 的研究实现，其中诸个Xn逐步逼近X。半连续原理要求各种图像变换后应满足这样的性质：对真实图像X的处理结果应包含在对一系列图像Xn的处理结果内。
形态运算的基本性质：
除了一些特殊情况外，数学形态学处理一般都是不可逆的。实际上，对图像进行重构的思想在该情况下是不恰当的。任何形态处理的目的都是通过变换去除不感兴趣的信息，保留感兴趣的信息。在形态运算中的几个关键性质如下： 递增性：X?Y?ψ(X)?ψ(Y),反扩展性：ψ(X)?X,?X,Y∈?(E)(9—5)(9—6) (9—7)?X∈?(E)幂等性：ψ[ψ(X)]=ψ(X),?X∈?(E)
其中：ψ表示形态变换，?(E)表示Euclidean空间E的幂集。 9.2.1 数学形态学定量分析原则 9.2.2 数学形态学的基本定义及
基本算法
集合论是数学形态学的基础，在这里我们首先对集合论的一些基本概念作一总结性的概括介绍。对于形态处理的讨论,我们将从两个最基本的模加处理和模减处理开始。它们是以后大多数形态处理的基础。 一些基本的定义
（1）集合：具有某种性质的确定的有区别的事物的全体。如果某种事物不存在，称为空集。集合常用大写字母A,B,C,?表示，空集用Φ表示。
设空间E为一自由空间，?(E)是由集合E所构成的幂集，集合X,B∈?(E)，则集合X和B之间的关系只能有以下三种形式：
①、集合B包含于X（表示为B?X）②、集合B击中X（表示为B?X），即：B?X≠?③、集合B相离于X（表示为B?X），即： B?X=?
B1击中X，B2相离于X，B3包含于X 图9—1
（2）元素：构成集合的每一个事物称之为元素，元素常用小写字母a,b,c, 表示，应注意的是任何事物都不是空集的元素。 （3）平移转换：
设A和B是两个二维集合，A和B中的元素分别是
a=(a1,a2),b=(b1,b2)
定义x=(x1,x2)，对集合的平移转换为: (A)x={cc=a+x,fora∈A}(9—8)
（4）子集：当且仅当A集合的所有元素都属于B时，称A为B的子集。 （5）补集：定义集合A的补集为:
A={xx?A}
（6）差集：定义集合A和B的差集为c(9—9)
A-B
A-B={xx∈A,x?B}=A?Bc(9—10)(9—11)
（7）映像：定义集合B的映像为B∧B={xx=b,b∈B}∧(9—12) （8）并集：由A和B的所有元素组成的集合称为A和B的并集。
（9）交集：由A和B的公共元素组成的集合称为A和B的交集。
图9—2解释了刚才几个定义，图中的黑点为集合的原点。图9—2(a)显示集合A；图9—2(b)表示A被x=(x1,x2)平移，注意平移是在A的每个元素上加上
x=(x1,x2)。图9—2(c)表示集合B；图9—2(d)显示了B关于原点的反转。最后，图9—2(e)显示了集合A及其补，图9—2(f)显示了图9—2(e)的集合A与图9—2(f)中的集合B的差。 图9—2 (a)集合A；
(b)用x平移集合A后的结果；
(c)集合B； (d)B的反转；
(e)集合A和它的补集；(f)两个集合的差集(如阴影所示)。 前四幅图的黑点表示了每个集合的起点。 膨胀
2中的集合，为A,BZ?为空集，A被B的膨胀，记为A⊕B，⊕为膨胀算子，膨胀的定义为：A⊕B x A≠?x= { |[( ) ] } B(9—12) 该式表明的膨胀过程是B首先做关于原点的映射，然后
被所有x平移后与A至少有一平移x。A被B的膨胀是B
个非零公共元素。
根据这个解释，公式(9—12)可以重写如下：A⊕B ?x= { |[( ) ] } AAB x(9—13) 同在其他的形态处理中一样，集合B在膨胀操作中通常被称为结构元素。
公式(9—12)不是现在形态学文献中膨胀的唯一定义。然而，前面这个定义有一个明显的优势，因为当结构元素B 被看为卷积模板时有更加直观的概念。尽管膨胀是基于集合的运算，而卷积是基于算术运算，但是B关于原点的“映射”及而后连续的平移使它可以滑过集合(图像)A 的基本过程类似于卷积过程。
北京交通大学图像处理--第9章 数学形态学(1).
