10.90.80.70.60.50.40.30.20.10050100150200250300i(t)s(t)
0.350.30.250.20.150.10.050i(s)00.20.40.60.81
2.5x 1062能感染的病人数1.510.50050100时间150200
由图像可得i（t）随时间的推移先逐渐变大，之后变小，趋向于0，s(t)随时间的推移而逐渐减小，根据常识，一种传染病中的病人比例最终是为0，由此模型2还是比较符合客观事实的，但从图像中大致可以判断i（t）=0时大约要经过225多天。这与实际过程中大约经过100多天北京的sars就平息存在较大误差，仔细分析，我们发现该模型忽略了sars的潜伏期，实际上健康人与sars患者接触后虽然被感染了，但还处于潜伏期，没有传染能力。所以将模型2进行改进，得到模型3。 模型3 模型假设
1， 将人群分为四类，分别为健康人群，能感染的sars病人，sars潜伏者和移
出者（包括sars的死亡者和治愈者），他们在人群中的比重分别为 s(t),i(t),w(t),u(t);其中已确诊病人和sars潜伏者统称为sars病毒携带者，记 为x1（t）,表示其t时刻的人数，人口总人数为N。
2 ，每个病人每天有效接触的平均人数是常数k，k称为日接触率。当病人与
健康者有效接触时，使健康者受感染为病人。
3，sars潜伏者无传染能力，但最终会成为病人，具有传染能力。
问题分析
该模型比起模型2更为复杂，在该模型中还必须将sars病毒携带者分为两类，显然增加了计算难度，在此中还应该考虑潜伏周期T。 模型求解
在t时刻sars病毒携带者x1(t)=Ni(t)+Nw(t) (9) sars病毒携带者的增长率为
dx1(t)?Ni(t)ks(t)?Ni(t)p （10） dt健康人的增长率为
ds??i(t)ks(t) （11） dt移出者的增长率为 du?ip （12） dt潜伏者的增长率为
dw(t)dt?i(t)ks(t)?i(t?T)ks(t?T) 确诊病人的增长率为
di(t)dt?dw(t?T)dt?i(t)p
除此之外，还有一条公式，为
S(t)+i(t)+w(t)+u(t)=1 由（9）到（16）式联立，可得到
di(t)dt?i(t?T)ks(t?T)?i(t)p 将（14）和（17）式联立，可得
dw(t?T)dt?i(t?T)ks(t?T) 将t-T用t代替，可得
dw(t)dt?i(t)ks(t) （18） 在对（16）式两边对t进行求导，可得
ds(t)di(t)dw(t)du(dt?dt?dt?t)dt?0 结合（11），（12），（18）可求得
di(t)dt??i(t)p 最终对（11），（18），（20）联立的方程组进行数值求解，可得图像如下
13） （14）
(15) （16） 17） （19）
（20）
（ （ 1.21s(t)0.80.60.40.20-0.2w(t)i(t)050100150200
0.50.450.40.350.30.250.20.150.10.05000.20.40.60.81i(s)
3.532.5x 106能感染的病人数21.510.50050100时间150200
从图像中我们可以观察到在300多天时i（t）会接近于0，这比模型2还要久，，因此，我们还把政府的干预考虑进来，也就得到了模型4。
由于时间限制，模型4中考虑的因素更多，所以一时没能解决，也就导致了第二问实际上还不能完全解决，但是我们已经有了思路，即再引入一类人群，就是隔离人群，通过引入该人群，实际上是改变了病人的有效接触人数k，我们根据北京4月29日之后的实际数据，求得每日的k值，再求平均，得k2=0.019413；我们想采用分段函数，即确定一个时刻t，为k值改变的时刻，在这个时刻前与后都可以适用模型3。只是在考虑t时刻后，它的初始条件为4月29日的数据。通过t的改变，可以解决第二问中政府早五天调控和晚五天调控的差别。
SARS 数学建模
