第7讲 一元二次方程及其应用
1．定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．通常可写成如下的一般形式：ax＋bx＋c＝0，其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项． 2．解法
(1)直接开平方法：方程符合x＝m(m≥0)或(x±m)＝n(n≥0)的形式；
(2)配方法：①二次项系数化为1；②移项；③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；④原方程写成a(x＋h)＝k的形式；⑤当k≥0时，直接开平方求解；
(3)公式法：①化为一般形式；②确定a，b，c的值；③求出b－4ac的值；④当b－4ac≥0时，将a，b，－b±b－4ac
c的值代入得x＝；
2a
(4)因式分解法：①将方程右边化为0；②将方程左边进行因式分解；③令每个因式为零，得两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，得原方程的两个根． 3．一元二次方程的根的判别式
对于一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)，其根的判别式为b－4ac(或记为“Δ”)． (1)b－4ac＞0?方程有两个不相等的实数根； (2)b－4ac＝0?方程有两个相等的实数根； (3)b－4ac＜0?方程没有实数根； (4)b－4ac≥0?方程有实数根． 4．一元二次方程的根与系数的关系
bc2
若一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝－，x1x2＝．
aa5．一元二次方程的实际应用常见类型及关系
(1)增长率问题：设a为原来量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1＋m)＝b；当m为平均下降率时，n为下降次数，b为下降后的量，则有a(1－m)＝b. (2)几何图形问题：
①面积问题：S长方形＝ab(a，b分别表示长和宽)； S正方形＝a(a表示边长)； S圆＝πr(r表示圆的半径)；
②体积问题：V长方体＝abh(a、b、h分别表示长、宽、高)；
22
n
n
2222
2
2
22
2
2
2
2
2
V正方体＝a(a表示边长)；
12
V圆锥＝πrh(r表示底面圆的半径，h表示高)；
3
3
考点1：一元二次方程的解法
【例题1】嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式时，对于b－4ac＞0的情况，她是这样做的：由于a≠0，方程ax＋bx＋c＝0变形为： bc2
x＋x＝－，……第一步
aa
bb2cb22
x＋x＋()＝－＋()，……第二步
a2aa2ab2b－4ac(x＋)＝，……第三步 22a4a
bb－4ac2
x＋＝(b－4ac＞0)，……第四步 2a4a－b＋b－4acx＝.……第五步
2a
(1)嘉淇的解法从第四步开始出现错误；事实上，当b－4ac＞0时，方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式－b±b－4ac是x＝；
2a(2)用配方法解方程：x－2x－24＝0. 解：x－2x＝24， x－2x＋1＝24＋1， (x－1)＝25， x－1＝±5， x＝1±5， ∴x1＝－4，x2＝6.
归纳：一元二次方程有四种解法：因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法． (1)若一元二次方程缺少常数项，且方程的右边为0，可考虑用因式分解法求解；
(2)若一元二次方程可分解因式或缺少一次项，可考虑用因式分解法或直接开平方法求解；
(3)若一元二次方程的二次项系数为1，且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时，可考虑用配方法求解； (4)若用以上三种方法都不容易求解时，可考虑用公式法求解． 考点2：一元二次方程的实际应用
2
2
2
2
22
2
222
2
2
2
【例题2】(2024?湖北宜昌?10分)HW公司2024年使用自主研发生产的“QL”系列甲、乙、丙三类芯片共2800万块，生产了2800万部手机，其中乙类芯片的产量是甲类芯片的2倍，丙类芯片的产量比甲、乙两类芯片产量的和还多400万块．这些“QL”芯片解决了该公司2024年生产的全部手机所需芯片的10%． (1)求2024年甲类芯片的产量；
(2)HW公司计划2024年生产的手机全部使用自主研发的“QL”系列芯片．从2024年起逐年扩大“QL”芯片的产量，2024年、2024年这两年，甲类芯片每年的产量都比前一年增长一个相同的百分数m%，乙类芯片的产量平均每年增长的百分数比m%小1，丙类芯片的产量每年按相同的数量递增.2024年到2024年，丙类芯片三年的总产量达到1.44亿块．这样，2024年的HW公司的手机产量比2024年全年的手机产量多10%，求丙类芯片2024年的产量及m的值． 【考点】一元二次方程应用题．
【分析】(1)设2024年甲类芯片的产量为x万块，由题意列出方程，解方程即可；
2024年中考数学考点总动员第07讲 一元二次方程及其应用
