∴VE﹣ABC===．
18．（2014?北京）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图： 排号 分组
频数
1 2 3 4 5 6 7 8 9 合计
[0，2） [2，4） [4，6） [6，8） [8，10）
6 8 17 22 25
[10，12） 12 [12，14） 6 [14，16） 2 [16，18） 2
100
（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；
（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值；
（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写结论）
【分析】（Ⅰ）根据频率分布表求出1周课外阅读时间少于12小时的频数，再根据频率=
求频率；
求a、b的值；
（Ⅱ）根据小矩形的高=
（Ⅲ）利用平均数公式求得数据的平均数，可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）由频率分布表知：1周课外阅读时间少于12小时的频数为6+8+17+22+25+12=90，
∴1周课外阅读时间少于12小时的频率为
=；
（Ⅱ）由频率分布表知：数据在[4，6）的频数为17，∴频率为，∴a=； 数据在[8，10）的频数为25，∴频率为，∴b=；
（Ⅲ）数据的平均数为1×+3×+5×+7×+9×+11×+13×+15×+17×=（小时）， ∴样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组．
19．（2014?北京）已知椭圆C：x2+2y2=4． （Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．
【分析】（Ⅰ）椭圆C：x2+2y2=4化为标准方程为椭圆C的离心率；
（Ⅱ）先表示出线段AB长度，再利用基本不等式，求出最小值． 【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：x2+2y2=4化为标准方程为
，
，求出a，c，即可求
∴a=2，b=，c=，
；
∴椭圆C的离心率e==
（Ⅱ）设A（t，2），B（x0，y0），x0≠0，则 ∵OA⊥OB， ∴
=0，
，
∴tx0+2y0=0，∴t=﹣∵
，
∴|AB|2=（x0﹣t）2+（y0﹣2）2=（x0+）2+（y0﹣2）
2
=x02+y02++4=x02+++4=+4（0＜x02≤4），
因为以|AB|2≥8．
≥4（0＜x02≤4），当且仅当，即x02=4时等号成立，所
∴线段AB长度的最小值为2
．
20．（2014?北京）已知函数f（x）=2x3﹣3x． （Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；
（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围； （Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切（只需写出结论）
【分析】（Ⅰ）利用导数求得极值点比较f（﹣2），f（﹣的大小即得结论；
（Ⅱ）利用导数的几何意义得出切线方程4
﹣6
+t+3=0，设g（x）=4x3﹣
），f（
），f（1）
6x2+t+3，则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，
等价于“g（x）有3个不同的零点”．利用导数判断函数的单调性进而得出函数的零点情况，得出结论；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论写出即可．
【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2x3﹣3x得f′（x）=6x2﹣3， 令f′（x）=0得，x=﹣∵f（﹣2）=﹣10，f（﹣
或x=）=
， ，f（
）=﹣．
，f（1）=﹣1，
∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为
（Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x0，y0）， 则y0=2
﹣3x0，且切线斜率为k=6
﹣3，
∴切线方程为y﹣y0=（6∴t﹣y0=（6即4
﹣6
﹣3）（x﹣x0），
﹣3）（1﹣x0）， +t+3=0，
设g（x）=4x3﹣6x2+t+3，
则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”．
∵g′（x）=12x2﹣12x=12x（x﹣1）， ∴g（x）与g′（x）变化情况如下：
x
（﹣∞，0）
0 0 t+3
﹣ ↘
（0，1）
1 0 t+1
（1，+∞） + ↗
g′（x） + g（x）
↗
∴g（0）=t+3是g（x）的极大值，g（1）=t+1是g（x）的极小值．
当g（0）=t+3≤0，即t≤﹣3时，g（x）在区间（﹣∞，1]和（1，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．
当g（1）=t+1≥0，即t≥﹣1时，g（x）在区间（﹣∞，0]和（0，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．
当g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1时，∵g（﹣1）=t﹣7＜0，g（2）=t+11＞0，
∴g（x）分别在区间[﹣1，0），[0，1）和[1，2）上恰有1个零点，由于g（x）
在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上单调，
故g（x）分别在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上恰有1个零点．
综上所述，当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切时，t的取值范围是（﹣3，﹣1）．
（Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y=f（x）相切； 过点B（2，10）存在2条直线与曲线y=f（x）相切； 过点C（0，2）存在1条直线与曲线y=f（x）相切．
北京市高考数学试卷(文科)
