第五章 数 列
第1课时 数列的概念及其简单表示法
一、 填空题
2468
1. 数列，－，，－，…的第10项是________．
357920
答案：－
21
解析：所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把符号、分母、分子每一
2n20n＋1
部分进行分解，就很容易归纳出数列{an}的通项公式为an＝(－1)·，故a10＝－.
2n＋121
2. 已知数列{an}满足an＋2＝an＋1－an，且a1＝2，a2＝3，则a2 016的值为________． 答案：－1
解析：由题意，得a3＝a2－a1＝1，a4＝a3－a2＝－2，a5＝a4－a3＝－3，a6＝a5－a4＝－1，a7＝a6－a5＝2，∴ 数列{an}是周期为6的周期数列．而2 016＝6×336，∴ a2 016＝a6＝－1.
3. 数列7，9，11，…，2n－1的项数是_________. 答案：n－3
解析：易知a1＝7，d＝2，设项数为m，则2n－1＝7＋(m－1)×2，m＝n－3.
*
4. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且an≠0(n∈N)，又anan＋1＝Sn，则a3－a1＝________． 答案：1
解析：因为anan＋1＝Sn，所以令n＝1得a1a2＝S1＝a1，即a2＝1.令n＝2，得a2a3＝S2＝a1＋a2，即a3＝1＋a1，所以a3－a1＝1.
2
5. 已知数列{an}的前n项和Sn＝n＋2n＋1，则{an}的通项公式为__________．
??4（n＝1），
答案：an＝?
?2n＋1（n≥2）?
?4（n＝1），?
解析：当n＝1时，a1＝S1＝4；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，∴ an＝?
?2n＋1（n≥2）.?
*
6. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1(n∈N)，则a5＝__________． 答案：16
解析：当n＝1时，S1＝2a1－1，∴ a1＝1；
当n≥2时，Sn＝2an－1，Sn－1＝2an－1－1，则有 an＝2an－2an－1，∴ an＝2an－1.∴ {an}是等比数列，
44
且a1＝1，q＝2，故a5＝a1×q＝2＝16.
21
7. 若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式an＝________．
33
n－1
答案：(－2)
22ann－1
解析：当n＝1时，a1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，则＝－2，得an＝(－2).
33an－1
2
an－2*
8. 设数列{an}满足a1＝a，an＋1＝(n∈N)．若数列{an}是常数列，则a＝________.
an＋1
答案：－2
22
a1－2a－22
解析：因为数列{an}是常数列，所以a＝a2＝＝，即a(a＋1)＝a－2，解得a＝－2.
a1＋1a＋1
2
9. 数列{an}的前n项积为n，那么当n≥2时，an＝________．
2n
答案：2 （n－1）
2
Tnn2
解析：设数列{an}的前n项积为Tn，则Tn＝n，当n≥2时，an＝＝2. Tn－1（n－1）
10. 数列{an}满足：a1＝1，且对任意的m，n∈N都有an＋m＝an＋am＋nm，则a100＝________． 答案：5 050
解析：令m＝1，则an＋1＝an＋1＋n?an＋1－an＝n＋1?a100＝(a100－a99)＋(a99－a98)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝100＋99＋…＋2＋1＝5 050.
二、 解答题
2
11. 数列{an}的通项公式是an＝n－7n＋6. (1) 这个数列的第4项是多少？
(2) 150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3) 该数列从第几项开始各项都是正数？
2
解：(1) 当n＝4时，a4＝4－4×7＋6＝－6.
2
(2) 令an＝150，即n－7n＋6＝150，解得n＝16或n＝－9(舍去)，即150是数列的第16项．
2
(3) 令an＝n－7n＋6＞0，解得n＞6或n＜1(舍)，∴ 从第7项起各项都是正数．
22
12. 已知数列{an}满足前n项和Sn＝n＋1，数列{bn}满足bn＝，且前n项和为Tn.设cn＝T2n
an＋1
＋1－Tn.
(1) 求数列{bn}的通项公式； (2) 判断数列{cn}的增减性．
解：(1) a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，
2
（n＝1），3
∴ bn＝
1
（n≥2）.n
(2) ∵ cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1
111＝＋＋…＋， n＋1n＋22n＋1
111
∴ cn＋1－cn＝＋－ 2n＋22n＋3n＋1
11－1＝－＝<0， 2n＋32n＋2（2n＋3）（2n＋2）∴ cn＋1 ∴ 数列{cn}为递减数列． 1* 13. 已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N，a∈R，且a≠0)． a＋2（n－1） (1) 若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值； * (2) 若对任意的n∈N，都有an≤a6成立，求a的取值范围． 1* 解：(1) ∵ an＝1＋(n∈N，a∈R，且a≠0)， a＋2（n－1） 11* 又a＝－7，∴ an＝1＋(n∈N)．结合函数f(x)＝1＋的单调性，可知1>a1>a2>a3>a4， 2n－92x－9* a5>a6>a7>…＞an>1(n∈N)， ∴ 数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0. 121* (2) an＝1＋＝1＋，对任意的n∈N，都有an≤a6成立，结合函数f(x)＝1 a＋2（n－1）2－a n－ 2 * ????? 122－a＋的单调性，可知5<<6，即－10 2－a2x－ 2 差 数 列 一、 填空题 1. 在等差数列{an}中，a5＝33，公差d＝3，则201是该数列的第________项． 答案：61 解析：∵ an＝a5＋(n－5)d，∴ 201＝33＋3(n－5)，n＝61. 2. 已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20＝________． 答案：1 解析：∵ a1＋a3＋a5＝105，即3a3＝105，解得a3＝35，同理a2＋a4＋a6＝99，得a4＝33.∵ d＝a4 －a3＝33－35＝－2，∴ a20＝a4＋(20－4)d＝33＋16×(－2)＝1. 3. 在等差数列{an}中，已知a2＋a8＝11，则3a3＋a11的值为__________． 答案：22 解析：3a3＋a11＝a3＋a3＋a3＋a11＝a3＋a2＋a4＋a11＝a3＋a2＋a7＋a8＝2(a2＋a8)＝11×2＝22. 4. 若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a4＝3，则a7＝________． 答案：－3 5（a1＋a5） 解析：S5＝25?＝25?a3＝5，所以d＝a4－a3＝－2，a7＝a4＋(7－4)d＝3－6＝－3. 2 5. 在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时，Sn取最大值，则d的取值范围是________． 7 答案：－1 7 解析：由题意得，a8>0，a9<0，所以7＋7d>0，7＋8d<0，即－1 8 6. 若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大． 答案：8 解析：由等差数列的性质，得a7＋a8＋a9＝3a8，a8＞0，又a7＋a10＜0，所以a8＋a9＜0，所以a9＜0，所以S8＞S7，S8＞S9，故数列{an}的前8项和最大． 7. 若一个等差数列{an}的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有________项． 答案：13 解析：a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180，所以3(a1＋an)＝180，即a1＋an＝60.由Sn＝390，n（a1＋an）n×60知＝390，所以＝390，解得n＝13. 228. 记等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝2，且数列{Sn}也为等差数列，则a13的值为 ________． 答案：50 解析：数列{Sn}为等差数列，得S1＋S3＝2S2，即2＋6＋3d＝24＋d，则d＝4，a13 ＝a1 ＋12d＝50. S31S6 9. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则＝________． S63S12 3 答案： 10 S33a1＋3d1S66a1＋15d 解析： 由等差数列的求和公式可得＝＝，可得a1＝2d，且d≠0，所以＝S66a1＋15d3S1212a1＋66d ＝ 27d3＝. 90d10 ?1?m* 10. 在等差数列{an}中，a2＝5，a6＝21，记数列??的前n项和为Sn，若S2n＋1－Sn≤对n∈N恒 15?an? 成立，则正整数m的最小值为________． 答案：5 11 解析：由a2＝5，a6＝21易得等差数列{an}的通项公式为an＝4n－3，所以＝.故S2n＋1－Sn an4n－3 11111＝＋＋＋…＋＋. a2n＋1a2na2n－1an＋2an＋1 设Tn＝S2n＋1－Sn，则Tn＋1＝S2(n＋1)＋1－Sn＋1＝S2n＋3－Sn＋1， 所以Tn＋1－Tn＝(S2n＋3－Sn＋1)－(S2n＋1－Sn)＝(S2n＋3－S2n＋1)－(Sn＋1－Sn) 111111＝＋－＝＋－ a2n＋3a2n＋2an＋14（2n＋3）－34（2n＋2）－34（n＋1）－311111121＝＋－<＋－＝－＝0. 8n＋98n＋54n＋18n＋28n＋24n＋18n＋24n＋1 m* 所以Tn＋1－Tn<0，即Tn＋1 15 111114m14m14 立，即(S2n＋1－Sn)max＝S3－S1＝＋＝＋＝≤.由≤得m≥，所以正整数m的最小值为5. a3a295451545153 二、 解答题 11. 在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3. (1) 求数列{an}的通项公式； (2) 若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值． 解：(1) 设等差数列{an}的公差为d， 由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3，解得d＝－2. 从而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n. (2) 由(1)可知an＝3－2n. n[1＋（3－2n）]2 所以Sn＝＝2n－n. 2 2 由Sk＝－35，可得2k－k＝－35， 2 即k－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5. * 又k∈N，故k＝7. 12. 设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0. (1) 若S5＝5，求S6及a1； (2) 求d的取值范围． ???5a1＋10d＝5，?a1＝7，15 解：(1) 由题意知S6＝－＝－3，a6＝S6－S5＝－8，所以?解得?因此S6 S5?a1＋5d＝－8，?d＝－3，?? ＝－3，a1＝7. 22 (2) 因为S5S6＋15＝0，所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a1＋9da1＋10d＋1＝0. 222 故(4a1＋9d)＝d－8，所以d≥8.故d的取值范围是d≤－22或d≥22. 13. 在等差数列{an}中，公差d＞0，前n项和为Sn，a2·a3＝45，a1＋a5＝18. (1) 求数列{an}的通项公式． Sn* (2) 令bn＝(n∈N)，是否存在一个非零常数c，使数列{bn}也为等差数列？若存在，求出c n＋c 的值；若不存在，请说明理由． 解：(1) 由题设，知{an}是等差数列，且公差d＞0， ????a2a3＝45，?（a1＋d）（a1＋2d）＝45，?a1＝1，则由?得?解得? ????a1＋a5＝18，?a1＋（a1＋4d）＝18，?d＝4. * ∴ an＝4n－3(n∈N)． n（1＋4n－3）?1?2n?n－?2Sn?2? (2) 由bn＝＝＝. n＋cn＋cn＋c 1 ∵ c≠0，∴ 可令c＝－，得到bn＝2n. 2 * ∵ bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2(n∈N)， ∴ 数列{bn}是公差为2的等差数列． 1 即存在一个非零常数c＝－，使数列{bn}也为等差数列．第3课时 等 比 数 列 2 一、 填空题 1. 等比数列{an}的公比大于1，a5－a1＝15，a4－a2＝6，则a3＝________． 答案：4 解析：由a5－a1＝15，a4－a2＝6(q>1)，得q＝2，a1＝1，则a3＝4. 1S4 2. 设等比数列{an}的公比q＝，前n项和为Sn，则＝________． 2a4 答案：15 44 a1（1－q）S41－q3 解析：S4＝，a4＝a1q，所以＝3＝15. 1－qa4q（1－q） 3. 在各项均为正数的等比数列{an}中，若log2a2＋log2a8＝1，则a3a7＝________． 答案：2 解析：由log2a2＋log2a8＝1得log2(a2a8)＝1，所以a2a8＝2，由等比数列性质可得a3a7＝a2a8＝2. 4. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3依次成等差数列，若a1＝1，则S5＝________ . 答案：31 2 解析：因为4a1，2a2，a3依次成等差数列，4a2＝4a1＋a3，所以4a1q＝4a1＋a1q，所以q＝2.又a1 5 a1（1－q） ＝1，所以S5＝＝31. 1－q S20 5. 设Sn是等比数列{an}的前n项和，若a5＋2a10＝0，则的值是________． S10 5答案： 4 解析：当q＝1时，a5＝a10＝0不合题意， 20 a101S201－q15510 ∴ 公比q≠1.∴ q＝＝－，因而＝＝1＋q＝1＋＝. 10 a52S101－q44 6. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯________盏． 答案：3 解析：设塔的顶层共有灯x盏，则各层的灯数构成一个首项为x，公比为2的等比数列，结合等 7 x×（1－2） 比数列的求和公式有：＝381，解得x＝3，即塔的顶层共有灯3盏． 1－2 7. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝7，S6＝63，则a7＋a8＋a9＝__________． 答案：448 3 解析：由S3＝7，S6＝63，得a1＋a2＋a3＝7，7＋a4＋a5＋a6＝63，则a4＋a5＋a6＝(a1＋a2＋a3)q＝33 56，q＝8，a7＋a8＋a9＝(a4＋a5＋a6)q＝56×8＝448.
最新的年高考数学一轮复习第五章数列课时训练(含答案)
