6.3.1 平面向量基本定理
【学习目标】 素 养 目 标 学 科 素 养 1. 理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义。（重点） 1.数学运算; 2. 掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量。（重点） 2.数学抽象 【自主学习】 平面向量基本定理 条件 e1，e2是同一平面内的两个 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使 基底 若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 思考：基底有什么特点？平面内基底唯一吗？
【小试牛刀】
思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)基底中的向量不能为零向量．( )
(2)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则必有a＝c，b＝d.( ) (3)若两个向量的夹角为θ，则当|cosθ|＝1时，两个向量共线．( ) (4)若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是60°.( ) (5)平面内的任何两个向量都可以作为一个基底．( )
(6)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2. ( ) 【经典例题】
题型一 平面向量基本定理的理解
点拨：(1)两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．
(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以用这个基底唯一线性表示出
?x1＝x2，
来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则?
?y1＝y2.
(3)一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样． 例1 如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( ) ．．．①a＝λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
λ1μ1
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则＝. λ2μ2
④若实数λ、μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
A．①② B．②③ C．③④ D．②
【跟踪训练】1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.
其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)．
1
题型二 用基底表示平面向量
点拨：方法1：运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止． 方法2：通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．
例2 如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC＝3AD，→BA＝
a，→BC＝b.试以{a，b}为基底表示→EF，→DF.
【跟踪训练】2 如图所示，在△OAB中，→OA＝a，→OB＝b，M、N分别是边OA、OB上的点，且→OM＝11a，→ON＝b，设→AN与→BM交于点P，用向量a、b表示→OP. 32
分析: 通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解λ1，λ2.
【当堂达标】
1.下列说法中，正确说法的个数是( ) ①在△ABC中，→AB，→AC可以作为基底； ②能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的； ③零向量不能作为基底．
A．0 B．1 C．2 D．3 2.如图在矩形ABCD中，若→BC＝5e1，→DC＝3e2，则→OC＝( ) 11A.(5e1＋3e2) B.(5e1－3e2) 2211C.(3e2－5e1) D.(5e2－3e1) 22
→＋yOB→，且→
3.如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，→OP＝xOABP＝2→PA，则( )
2112
A．x＝，y＝ B．x＝，y＝
33331331
C．x＝，y＝ D．x＝，y＝
4444
→＋yOB→，若→
4.已知非零向量→OA，→OB不共线，且2→OP＝xOAPA＝λ→AB(λ∈R)，则x，y满足的关系是( )
A．x＋y－2＝0
B．2x＋y－1＝0
2
C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0
5.已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y＝ . 6.如图，在平行四边形ABCD中，设→AC＝a，→BD＝b，试用基底{a，b}表示→AB，→BC.
【参考答案】
【自主学习】
不共线向量 a＝λ1e1＋λ2e2
思考：基底中的两向量e1，e2不共线，这是基底的最大特点．平面内的基底并不是唯一的，任意不共线的两个向量都可以作为基底． 【小试牛刀】
(1) × (2)× (3)√ (4)√ (5) × (6)√ 【经典例题】
例1 B [解析] 由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当λ1λ2＝0或μ1μ2＝0时不一定成立，应为λ1μ2－λ2μ1＝0.故选B．
?λ＝1，
【跟踪训练】1 ③ 解析：①设e1＋e2＝λe1，则?无解，所以e1＋e2与e1不共线，即
1＝0，?
e1与e1＋e2能作为一组基底．
?1＋2λ＝0，
②设e1－2e2＝λ(e2－2e1)，则(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0，则?无解，所以e1－2e2
2＋λ＝0，?
与e2－2e1不共线，即e1－2e2与e2－2e1能作为一组基底．
1
③因为e1－2e2＝－(4e2－2e1)，所以e1－2e2与4e2－2e1共线，即e1－2e2与4e2－2e1不能作为
2
一组基底．
?1－λ＝0，
④设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则(1－λ)e1＋(1＋λ)e2＝0，则?无解，所以e1＋e2与e1
1＋λ＝0，?
－e2不共线，即e1＋e2与e1－e2能作为一组基底．
11111
例2 解：连接FA，DF.因为AD∥BC，且AD＝BC，所以→AD＝→BC＝b，所以→AE＝→AD＝b.
33326
1111
因为→BF＝→BC，所以→BF＝b，所以→FA＝→BA－→BF＝a－b.所以→EF＝→EA＋→AF＝－→AE－→FA＝－b－
22261?1?
?a－b?＝b－a，
2?3?
1??1?1?→→→→→
DF＝DA＋AF＝－(AD＋FA)＝－?b＋?a－b??＝b－a.
2??6??3
3
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