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2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
自主学习
知识梳理 1．平面向量数量积
(1)定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量____________叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．
(2)规定：零向量与任一向量的数量积为______．
(3)投影：设两个非零向量a、b的夹角为θ，则向量a在b方向的投影是______________，向量b在a方向上的投影是__________．
2．数量积的几何意义
a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影__________的乘积．
3．向量数量积的运算律 (1)a·b＝________(交换律)；
(2)(λa)·b＝________＝__________(结合律)； (3)(a＋b)·c＝__________(分配律)． 自主探究
根据向量数量积的定义，补充完整数量积的性质． 设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角． (1)a⊥b?__________；
(2)当a与b同向时，a·b＝________， 当a与b反向时，a·b＝________； (3)a·a＝__________或|a|＝a·a＝a2； (4)cos θ＝__________； (5)|a·b|≤__________.
对点讲练
知识点一 求两向量的数量积
例1 已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b； (3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积．
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回顾归纳 求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0°，180°]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a|·|b|·cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连结，而不能用“×”连结，也不能省去．
变式训练1 已知正三角形ABC的边长为1，求： →→→→→→
(1)AB·AC；(2)AB·BC；(3)BC·AC.
知识点二 求向量的模长
π
例2 已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|.
3
回顾归纳 此类求解模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，要灵活应用a2
＝|a|2，勿忘记开方．
变式训练2 已知|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝3，求|3a＋b|.
知识点三 向量的夹角或垂直问题
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例3 设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．
回顾归纳 求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π]．
变式训练3 已知|a|＝5，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则当k为何值时，向量ka－b与a＋2b垂直？
1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．
2．数量积对结合律一般不成立，因为(a·b)·c＝|a||b|·cos〈a，b〉·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b＝|a|·|c|cos〈a，c〉·b是一个与b共线的向量，两者一般不同．
3．向量b在a上的投影不是向量而是数量，它的符号取决于θ角，注意a在b方向上的投影与b在a方向上的投影是不同的，应结合图形加以区分.
课时作业
一、选择题
1．|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的投影等于( )
A．－3
B．－2
C．2
D．－1
2．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于( )
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人教版高中数学必修4学案 2.4.1平面向量数量积的物理背景及含义
