浙江工商大学2010/2011学年第二学期期中考试试卷
I??dy?xydx??a0b111?bdy?ln.
a1?y1?ab32. 解: 因为
ba?1?x?xlimsin?ln??0, x?0?xlnx??ba?1?x?xlimsin?ln??0 x?0??x?lnx所以该积分是正常积分. 交换积分次序, 得
ba1?1?x?x?1?I??sin?ln?dx??sin?ln?00?x?lnx?x?1??bab?1?1??xydydx????xysin?ln?dx?dy.
a?x???0?在上面的内层积分中作变换ln1?u,有 x??1?1?y?(y?1)uxsinlndx?esinudu?, ??2?0?01?(y?1)?x?1于是
b?1b1?1??I????xysin?ln?dx?dy??dy?arctan(b?1)?arctan(a?1). 2a0a1?(y?1)?x???解法二: 取b为参量, 利用积分号下求导数的方法,有
1?1?I'(b)??sin?ln?xbdx? 20x1?(1?b)??1积分上式,可得
I(b)?arctan(b?1)?c
由于I(a)?0,即有c??arctan(a?1),于是有
页脚内容21
浙江工商大学2010/2011学年第二学期期中考试试卷
I?I(b)?arctan(b?1)?arctan(a?1).
33. 解: 因为
bsinbx?sinax??cosxydy，所以 axI??e0???px??bsinbx?sinax?px?dx??e??cosxydy??dx
0?a?x??b ??dx?e?pxcosxydy （21）
0a由于e?pxcosxy?e?px及反常积分?e?pxdx收敛，根据魏尔斯特拉斯M判别法，含参量反常积分
0?????0e?pxcosxydx
在?a,b?上一致收敛.由于e?pxcosxy在?0,??)??a,b?上连续，根据定理19.11交换积分（21）的顺序，积分I的值不变.于是
I??dy?e?pxcosxydx??a0b??bapdy 22p?y ?arctanba?arctan. pp在上述证明中，令b?0，则有
F(p)??e?px0??sinaxadx?arctan(p?0), (22) xp由阿贝耳判别法可得上述含参量反常积分在p?0上一致收敛.于是由定理19.9，F(p)在p?0上连续，且
F(0)????0sinaxdx. x又由（22）式
I(a)?F(0)?lim?F(p)?lim?arctanp?0p?0a??sgna. p2页脚内容22
浙江工商大学2010/2011学年第二学期期中考试试卷
在上式中，令a?1，则有I?22?2.
34. 解: 由于e?xcosrx?e?x对任一实数r成立及反常积分
r????,???上收敛.
???0e?x收敛①，所以原积分在
2 考察含参量反常积分
?由于?xe?x2??0?e?xcosrxdx???xe?xsinrxdx, (24)
r0??22?'??2sinrx?xe?x2对一切x?0,???r???成立及反常积分?xe?xdx收敛，根据魏尔斯特拉
0斯M判别法，含参量积分（24）在???,???上一致收敛. 综合上述结果由定理19.10即得
?'(r)???xe?xsinrxdx?lim0??2A???0?A?xe?xsinrxdx
2 ?lim??1?x2?A1A?x2? esinrx?recosrxdx??0A????202??r???x2recosrxdx????r?. ?022 ??于是有
r2ln??r????lnc,
4??r??ce从而??0??c，又由原积分，??0???e?xdx?2?r24.
???20，所以c??2，因此得到
??r??35. 解: 把含参数a的反常积分
?2e?r24.
页脚内容23
浙江工商大学2010/2011学年第二学期期中考试试卷
Ik(a)??e?kx0??sinaxdx(k?0,a?0). x中的被积函数关于a求偏导数, 可得
?当k?0时, 有
??0e?kxcosaxdx,
e?kxcosxy?e?kx,
因此,由M判别法, ?e?kxcosaxdx关于参量a?0是一致收敛的,因此对Ik(a)可以在积分号下求导,
0??即
??dk. Ik(a)??e?kxcosaxdx?220daa?k因为Ik(0)?0,所以
aIk(a)??0kada?arctan. 1a12?k2k于是
I(a)??????sinaxa??kxsinaxdx?limedx?limarctan?. k?0??0k?0?xxk20令a?1,有I????0sinx?dx?. x22?36.解：?|y|ds??|sin?|sin2??cos2?d??2?sin?d??4.
L00?37.解： 直线段的参数方程是：
?x?t??y?2t0?t?1， ?z?3t?于是，?(x?y)dx?(y?z)dy?(z?x)dz??[(t?2t)?2(2t?3t)?3(3t?t)]dt
L01页脚内容24
浙江工商大学2010/2011学年第二学期期中考试试卷
??7tdt?017. 238.解:原式??b0Pdx?Qdy??C?B,A??ABAB??Pdx?Qdy y
????4dxdy????2?0?dx C?A,B? D ??4S?2b
A?0,0? B?b,0? x 39.解: ????3x2y?1y3??dx??x3?3xy2?dyC?3? ??????3x2?3y2?4???3x2?3y2???dx???4dx?4ab?. DD40.解： 由于
d(x2y?y2z?z2x)?(2xy?z2)dx?(2yz?x2)dy?(2zx?y2)dz，因(2xy?z2)dx?(2yz?x2)dy?(2zx?y2)dz的原函数是x2y?y2z?z2x?C.
41.解:(Ⅰ).画出积分区域
y
y?x y?x o x
(Ⅱ).???x?y?dxdy?? 1dx x?x?y?dy??1?31?3x2?3D 0? x0?x2?x?22?dx??20.
页脚内容25
此，全
微分
微积分(数学分析)练习题及答案doc
