浙江工商大学2010/2011学年第二学期期中考试试卷
1. 试求极限lim2?xy?4.
(x,y)?(0,0)xy解
lim2?xy?4(x,y)?(0,0)xy?(x,ylimxy)?(0,0)xy(2?xy?4)
?(x,ylim1)?(0,0)2?xy?4?14 . 2. 试求极限 y2)(x,ylim1?cos(x2?)?(0,0)(x2?y2)ex2y2.
解 由
2x22?y21?cos(x?y2)2sinx2?y2(x,ylim)?(0,0)(x2?y2)ex2y2?(x,ylim2)?(0,0)x2?y2?x2y2 4()2e2
?12?0?0 . 3. 试求极限(x,ylim)?(0,0)(x?y)sin1xsin1y.
解 由于
(x,ylim)?(0,0)(x?y)sin1xsin1y?(x,ylim)?(0,0)(xsin1xsin1y?ysin11xsiny) 又 x?y2, 所以
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,浙江工商大学2010/2011学年第二学期期中考试试卷
1111xsinsin?0limysinsin?0(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)xyxy， , lim
所以
11lim(x?y)sinsin?0(x,y)?(0,0)xy .
xy24. 试讨论lim.
(x,y)?(0,0)x2?y4解 当点(x,y)沿直线y?x趋于原点时，
xy2x3lim2?lim2?0x?0x?y4x?0x?x4.
y?x?0
当点(x,y)沿抛物线线x?y2趋于原点时，
x?yxy2y41lim2?lim?y?0x?y4y?0y4?y422?0 .
因为二者不等，所以极限不存在. 5. 试求极限解 由
lim(x2?y2)(1?x2?y2?1)?lim22x2?y21?x?y?1(x,y)?(0,0)x2?y2lim(1?x2?y2?1)?2(x,y)?(0,0)limx2?y21?x?y?122.
(x,y)?(0,0)
=(x,y)?(0,0) .
6. u?f(x?y,xy),f有连续的偏导数，求 解 令v?x?y,w?xy, 则
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?u?f?v?f?w?f?f????y?x?v?x?w?x?v?w ?u?f?v?f?w?f?f????x?w ?y?v?y?w?y?v7. z?arctanxy,y?ex, 求解 由
dz. dxdz1?(y?xy')2dx1?(xy)
1ex(1?x)xx?(e?xe)?x21?x2e2x. 1?(xe)8. 求抛物面 z?2x2?y2在点 M(1,1,3)处的切平面方程与法线方程。 解 由于
zx?4x,zy?2y,
在M(1,1,3)处 zx(1,1,3)?4, zy(1,1,3)?2， 所以, 切平面方程为
4(x?1)?2(y?1)?z?3.
即
4x?2y?z?3?0
法线方程为
x?1y?1z?3??42?1.
9. 求f(x,y)?2x2?xy?y2?6x?3y?5在(1,?2)处的泰勒公式. 解 由
x0?1,
y0??2,f(1,?2)?5
fx(x,y)?4x?y?6,fy(x,y)??x?2y?3,fx(1,?2)?0 fy(1,?2)?0fxx(x,y)?4,fxy(x,y)??1,fxx(1,?2)?4 fxy(1,?2)??1
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得
f(x,y)?5?2(x?1)2?(x?1)(y?2)?(y?2)2.
fyy(x,y)??2,fyy(1,?2)??2.
10. 求函数f(x,y)?e2x(x?y2?2y)的极值. 解 由于
fx?2e2x(x?y2?2y)?e2x?e2x(2?x?y2?2y)?0
fy?2e2x(y?1)?0
fxx?2e2x(2?x?y2?2y)?e2x,fxy?e2x(2?2y),fyy?2e2x
解得驻点(?1,?1)，
A?fxx(?1,?1)?e2?0,2B?fxy(?1,?1)?0,C?fyy(?1,?1)?2e?2 AC?B?2?0,A?0
所以 (?1,?1)是极小值点, 极小值为 f(?1,?1)??2e?2. 11. 叙述隐函数的定义.
答: 设X?R，Y?R，函数F:X?Y?R. 对于方程F(x,y)?0, 若存在集合I?X与J?Y，使得对于任何x?I，恒有唯一确定的y?J，使得(x,y)满足方程F(x,y)?0 ,则称由方程F(x,y)?0确定了一个定义在I上，值域含于J的隐函数。一般可记为y?f(x) x?I,y?J. 且成立恒等式
F(x,f(x))?0,x?I.
12. 叙述隐函数存在唯一性定理的内容. 答: 若F(x,y)满足下列条件:
（i）函数F在以P0(x0,y0)为内点的某一区域D?R2上连续; （ii）F(x0,y0)?0（通常称为初始条件）;
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（iii）在D内存在连续的偏导数Fy?x,y?; （iv）Fy?x0,y0??0,
则在点P0的某邻域U(P0)?D内，方程F?x,y?=0唯一地确定了一个定义在某区间(x0??,x0??)内的函数（隐函数）y?f(x)，使得
1o f?x0??y0,x?(x0??,x0??)时(x,f(x))?U(P0)且F?x,f(x)??0； 2° f?x?在(x0??,x0??)内连续. 13. 叙述隐函数可微性定理的内容. 答: 若F(x,y)满足下列条件:
（i）函数F在以P0(x0,y0)为内点的某一区域D?R2上连续; （ii）F(x0,y0)?0（通常称为初始条件）; （iii）在D内存在连续的偏导数Fy?x,y?; （iv）Fy?x0,y0??0,
又设在D内还存在连续的偏导数Fx(x,y)，则由方程F(x,y)?0所确定的隐函数在y?f(x)在其定义域(x0??,x0??)内有连续导函数，且
f'(x)??Fx(x,y).
Fy(x,y)14. 利用隐函数说明反函数的存在性及其导数.
答: 设y?f(x)在x0的某邻域内有连续的导函数f'(x)，且f(x0)?y0; 考虑方程
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微积分(数学分析)练习题及答案doc
