浙江工商大学2010/2011学年第二学期期中考试试卷
统计专业和数学专业数学分练习题 计算题 1. 试求极限
2?xy?4lim. (x,y)?(0,0)xylim1?cos(x2?y2)(x?y)e22x2y22. 试求极限
(x,y)?(0,0).
3. 试求极限
11(x?y)sinsin.
(x,y)?(0,0)xylimxy24. 试讨论lim.
(x,y)?(0,0)x2?y45. 试求极限
limx2?y21?x?y?1?u?u,. ?x?y22(x,y)?(0,0).
6. u?f(x?y,xy),f有连续的偏导数，求
7. z?arctanxy,y?ex, 求
dz. dx8. 求抛物面 z?2x2?y2在点 M(1,1,3)处的切平面方程与法线方程. 9. 求f(x,y)?2x2?xy?y2?6x?3y?5在(1,?2)处的泰勒公式. 10. 求函数f(x,y)?e2x(x?y2?2y)的极值. 11. 叙述隐函数的定义.
12. 叙述隐函数存在唯一性定理的内容. 13. 叙述隐函数可微性定理的内容.
14. 利用隐函数说明反函数的存在性及其导数. 15. 讨论笛卡儿叶形线
x3?y3?3axy?0
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所确定的隐函数y?f(x)的一阶与二阶导数. 16. 讨论方程
F(x,y,z)?xyz3?x2?y3?z?0
在原点附近所确定的二元隐函数及其偏导数. 17. 设函数f(x,y,z)?xy2z3, 方程
x2?y2?z2?3xyz.
(1)验证在点P0(1,1,1)附近由上面的方程能确定可微的隐函数y?y(z,x)和z?z(x,y); (2)试求fx(x,y(x,z),z)和fx(x,y,z(x,y)),以及它们在点y?f(x)处的值. 18. 讨论方程组
?F(x,y,u,v)?u2?v2?x2?y?0, ??G(x,y,u,v)??u?v?xy?1?0在点P0(2,1,1,2)近旁能确定怎样的隐函数组，并求其偏导数。 19. 设方程组
?u2?v2?x2?y2?1, ??u?v?xy?0. 问在什么条件下,
(1)由方程组可以唯一确定u,v是x,y的可微函数? (2)由方程组可以唯一确定u,x是v,y的可微函数?
20. 求球面x2?y2?z2?50与锥面x2?y2?z2所截出的曲线的点(3, 4, 5)处的切线与法平面方程。
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21. 求曲面ez?z?xy?3在点M0(2,1,0)处的切平面与法线方程.
22. 抛物面x2?y2?z被平面x?y?z?1截成一个椭圆. 求这个椭圆到原点的最长与最短距离. 23. 叙述含参量x的正常积分定义.
24. 叙述含参量x的正常积分的连续性定理的内容. 25. 叙述含参量x的无穷限反常积分定义.
26. 叙述含参量x的无穷限反常积分的一致收敛性定义.
27. 叙述含参量x的无穷限反常积分的一致收敛的柯西收敛准则. 28. 叙述含参量反常积分一致收敛的狄利克雷判别法. 29. 叙述含参量反常积分一致收敛的阿贝尔判别法. 30. 叙述含参量反常积分的可积性定理内容. 31. 求I??10xb?xadx(b?a?0). lnx1ba?1?x?xdx (a?0,b?0). 32. 计算积分 ?sin?ln?0?x?lnx33. 计算
I??e?px0??sinbx?sinaxdx(p?0,b?a).
x并由此计算
I(a)????2??0??sinxsinaxdx, I??dx
0xx34. 利用公式?e?xdx?0?2, 计算
?(r)??e?xcosrxdx.
0??235. 利用可微性计算关于参数a的含参量反常积分
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Ik(a)??e?kx0??sinaxdx(k?0,a?0). x并由此计算
I(a)??????sinxsinaxdx, I??dx
0xx036. 计算?|y|ds，其中L为单位圆周x2?y2?1.
L37.计算?(x?y)dx?(y?z)dy?(z?x)dz，其中L为从(0,0,0)到(1,2,3)的直线段.
L38.求积分
C?B,A???5xy34?2?dx??5x4y3?4x?siny2?dy,其中曲线C?A,B?与x轴围成的面积为S.
x2y213?2?3239.求??3xy?y?2x?dx??x?3xy?4x?1?dy,其中C:a2?b2?1. ?3?C?40.求全微分(2xy?z2)dx?(2yz?x2)dy?(2zx?y2)dz的原函数. 41.求???x?y?dxdy,其中D由y?x,y2?x围成.
D42.求????x2?y2?z2?dxdydz,其中V由z2?x2?y2,x2?y2?z2?R2?z?0?所围成的有界闭区域.
Vxy?xy?43.求??????a?0,b?0?与y?0所围成区域D的面积.
?ab?ab?x2y2?x2y244.求??sin?2?2?dxdy,其中D是2?2?1.
ab?ab?D2245.求???zdxdydz,其中V由z?V12x?y2?,x2?y2?z2?4?z?0?所围成的有界闭区域. ?346.求??zd?,其中S:x2?y2?z2?a2?0?h?z?a?.
S47.求??zdxdy,S是x2?y2?z2?a2(x?0,y?0),取球面的外侧为正侧.
S48.设f(u)具有连续导数,求
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?3?x?sin2ò???S?y2?z22??1?dydz????z??2?y2?3??y2?3?f???y?dzdx??f???z?dxdy. ?z???y?z??其中S为y2?x2?z2,y2?x2?z2?a2,y2?x2?z2?b2?0?a?b?所围立体的表面的外侧. 49.
V?求
?13??13?132?x?y?x?sinzdydz?y?cosxdzdx?z?2e??????dxdyò??333?????S?2,其中S是
??x,y,z?x?y2?z2?a2的表面,取外侧为正侧?a?0?.
222?x2y2z250.计算积分I???xydydz?yzdzdx?zxdxdy，其中S是椭球面2?2?2?1的
abcS外侧.
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微积分(数学分析)练习题及答案doc
