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第十章 曲线曲面积分
§10．1对弧长的曲线积分
一、选择题
1. 设曲线弧段AB为，则曲线积分有关系( ).
?(C)?(D)?(A)ABf(x,y)ds???f(x,y)ds??BABAf(x,y)ds； (B)?ABf(x,y)ds??BAf(x,y)ds；
ABf(x,y)ds?0；
f(?x,?y)ds． 答(B).
ABf(x,y)ds??BAt2t32. 设有物质曲线C:x?t,y?,z?(0?t?1),其线密度为??2y,它
23的质量M?( ).
(A)(C)…
??1010t1?t2?t4dt; (B)1?t2?t4dt; (D)?1010t21?t2?t4dt;
t1?t2?t4dt. 答(A).
x2?y2?
OM3.设OM是从O(0,0)到M(1,1)的直线段,则与曲线积分I??不相等的积分是( ).
eds(A)(C)??10e22x2dx; (B)??1010e2y2dy;
0erdr; (D)er2dr 答(D).
L4 .设L是从A(0,0)到B(4,3)的直线段,则曲线积分?(x?y)ds?( ).
3?33???x?xdxy?y; (B)??dy; ?0??0?4???4?3?34?93?9?(C)??y?y?1+dy; (D)??x?x?1+dx. 答
040164?16???(D).
(A)45. 设L为抛物线y?x2上从点(0,0)到点(1,1)的一段弧,则曲线积分
?Lyds?( ).
(A)}
?101?4x2dx; (B)?10y1?ydy;
(C)?10x1?4x2dx; (D)?101y1?dy. 答(C).
y6. 设L是从A(1,0)到B(?1,2)的直线段,则曲线积分
?L(x?y)ds?( ).
(A)2; (B)2; (C)?2; (D)22. 答
(D).
22二、填空题
1. 设L是圆周x?y?1,则I1??Lx3ds与I2??Lx5ds的大小关系是
.
答:I1?I2.
2. 设L是连接A(1,0)与B(0,1)两点的直线段, 则?(x?y)ds?L&
.
答：2.
3. 设L:x?acost,y?asint(0?t?2?),则?(x2?y2)nds?L. .
答：2?a2a?1.
4. 设L:x?acost,y?asint(0?t?2?),则答：0.
5. 设L是圆周x?y?1,则I?22?L(x2?y2)ds?.
?Lx2ds?答：?.
6. 设?:x?etcost,y?etsint,z?et,上相应于t从0变到2的这段弧,则曲线积分?(x2?y2)ds?L.
答: 3(1?e?2).
27. 设L为曲线y2?4x上从点A(0,0)到点B(1,2)的弧段,
则?y1?xds?？
L.
答：3. 三、解答题
1.计算下列对弧长的曲线积分：
(1) ?xds其中为由直线y?x与抛物线y?x2所围区域的整个边界.
L答： 1(55?62?1).
12
(2) ?eLx2?y2ds其中L为圆周x2?y2?a2，直线y?x及x轴在第一象限
内所围成的扇形的整个边界.
a??答： ea?2????2.
4??》
(3) ?x2yzds，其中?为折线ABCD，这里A,B,C,D依次为点(0,0,0)、
?(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2).
答：9.
(4) ?y2ds其中L为摆线一拱x?a(t?sint),y?a(1?cost)(0?t?2?).
L答： 32a3??.
4253?x?a(cost?tsint)(5) ?(x2?y2)ds其中L为曲线?(0?t?2?).
Ly?a(sint?tcost)?答： 2?2a3(1?2?2).
§10．2对坐标的曲线积分
一、选择题
，
1. 设
AB为由A(0,?)到B(?,0)的直线段,则
?ABsinydx?sinxdy?( ).
(A)2; (B)?1; (C)0; (D)1. 答(C). x2y22. 设C表示椭圆2?2?1,其方向为逆时针,则?(x?y2)dx?
Cab( ).
(A)?ab; (B)0; (C)a?b2; (D)1. 答(B). 3. 设C为由A(1,1)到B(2,3)的直线段,则
?C(x?3y)dx?(y?2x)dy?( ).
第十章-曲线曲面积分(习题及解答)
