专题二
考点1：利用“垂线段最短”
最值问题
例1.已知△ABC是边长为a的等边三角形，点D为AC上一动点，连接BD，将△BDC绕点B逆时针旋转60°，得△ABE，连接DE，则△AED周长的最小值= ．
EAD
BC
点拨：由旋转易知△BED是等边三角形，△AED的周长等于AC+ED=a+BD，求△AED周长的最小值，即需求的BD最小值即可.
例2.如图，在Rt△AOB中，OB=23，∠A＝30°，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为 ．
APQOB例2图
例3图 例4图
点拨：见切线，连
半径，构造直角三角形.欲求PQ的最小值，只需求得OP的最小值.
例3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（ ） A．4.75 B．4.8 C．5 D．42
点拨：易知PQ为动圆的直径，动圆过点C且与AB相切，其直径小于等于C到切点的距离，当动圆的圆心落在C点与切点的连线上时，直径最短.
例4.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点（不与B，C重合）， ∠ADE=∠C=α，DE交AC于点E，且sinα=
4．则CE的最大值是_______. 5点拨：本题考查了相似三角形的判定和性质，以及利用三角函数求边长，和垂线段最短的定理，利用数学转化思想进而求得最值等．题目常规但是需要用转化的数学思想。 中考链接：
1.如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，E为BC的中点，点P是对角线BD上的动点，连接PE，作PF⊥BC，垂足为点F，则PE+PF的最小值为 ．
CAPDODCEBEFBA 第2题图
第3题图
第4题图
第1题图
2.（2016·东营）如图，在Rt?ABC中，?B?90?错误!未找到引用源。，AB?4错误!未找到引用源。，BC＞错误!未找到引用源。AB，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE错误!未找到引用源。中，DE的最小值是 ．
3.如图,⊙O的半径为2,点O到直线l的距离为3,点P是直线l上的一个动点．若PB切⊙O于点B,则PB的最小值是 ．
4.在△ABC中，P是BC边上的一个动点，以AP为直径的⊙O分别交AB、AC于点E和点F．若∠ABC=60°，∠BAC=45°，AB=23，则线段EF的最小值是 ．
5.如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是∠BAC的角平分线，E是AD上的动点，F是AB边上的动点，则BE+EF的最小值为________.
第5题图 第6题图 第7题图 第8题图
6.如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，AC=8，以C为圆心，4为半径作⊙C．点F是⊙C上一动点，点D在AC上且
1CD=2，点E是AB边上任意一点，EF+FA的最小值是 ．
27.（2017·泰安）如图，∠BAC=30°，M为AC上一点，AM=2，点P是AB上的一动点，PQ⊥AC，垂足为点Q，则PM+PQ的最小值为 ．
38.（2016·日照)如图，直线y=-x+3x与x轴、y轴分别交于点A、B；Q是以点C（0，-1）为圆心、以1为
4半径的圆上一动点，过点Q的切线交线段AB于点P，则线段PQ的最小值是 .
9.如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O是一动点且P在第一象限内，过P作⊙O切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．则线段AB的最小值是 .
考点2：利用“两点之间线段最短” （一）平面图形
例1.如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为83，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为______．
点拨：如图作CE′⊥AB于E′，甲BD于P′，连接AC、AP′．首先证明E′与E重合，因为A、C关于BD对称，所以当P与P′重合时，PA′+P′E的值最小，由此求出CE即可解决问题．
点拨：由菱形的性质易知A、C关于对角线BD对称，则PC＝PA，EP+AP＝EP+PC，EP+AP最小值为CE的长度的最小值. (二)立体图形 （1）长方体展开
图1
图2
图3
如图，长方体的长宽高分别为a，b，c，小蚂蚁从A点沿长方体表面爬至B点，则最短路径是多少？ 结论：只需求_________________________________，三者最小的即可.(展开图中AB的长度)
BACAB例2图 例3图
例2.(2015·东营)如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为_______ ． (2)圆柱体展开
例3.如图，圆柱形容器的高为1.2m，地面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为___________m.(容器
厚度忽略不计)．
(3)圆锥体展开
例4.(2017·莱芜)圆锥的底面周长为
2?，母线长为2，点P是母线OA的中点，一根细绳（无弹性）从点P绕圆3锥侧面一周回到点P，则细绳的最短长度为 ． 中考链接：
1.(2014·东营)在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8cm，值是_____cm．
AC?CD?BD，M是AB上一动点，CM+DM的最小
B A 第1题图 第2题图
2.如图，在棱长为1m的正方体容器（无盖）内侧棱的中点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外侧顶点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为________m（容器厚度忽略不计）
3.(2017·东营)我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是_____尺．
第3题图 第4题图
4.（2017·菏泽）如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为(?4,5)，D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（ ）
A．(0,) B．(0,) C.(0,2) D．(0,5.(2017·临沂）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=435310) 3kx?0（）的图象与边长是６的正方形OABC的两x边AB，BC分别相交于M，N两点，VOMN的面积为10.若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是（ ） Ａ．62 Ｂ．10 Ｃ．226 Ｄ．229 6.(2017·枣庄）如图，直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，3点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为（ ）
Ａ．（﹣3，0） Ｂ.（﹣6，0） C.(-35，0 ) D.（-，0） 22
第5题图 第6题图 第7题图
7.（2017·莱芜）如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=120°，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当PB+PM的值最小时，PM的长是（ ） A．2735267 B． C． D．
35428.如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是 ．
9.在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示．点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，且OA=6，OC=4，D为OC中点，点E、F在线段OA上，点E在点F左侧，EF=2．当四边形BDEF的周长最小时，点F的坐标为 .
第9题 第10题 10.（2013?日照）问题背景：
如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，则点C即为所求．
（1）实践运用：
如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A在⊙O上，∠ACD=30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为 ． （2）知识拓展：
如图（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．
中考最值问题归类 - 图文
