初一数学奥林匹克竞赛题（含答案）

初一数学奥林匹克竞赛题（含答案）

初一奥数题一

甲多开支

100元，三年后负债600元．求每人每年收入多少？

S的末四位数字的和

是多少？

4．一个人以3千米/小时的速度上坡，以6千米/小时的速度下坡，行程12千米共用了3小时20分钟，试求上坡与下坡的路程．

5．求和：

6．证明：质数p除以30所得的余数一定不是合数．

8．若两个整数x，y使x2+xy+y2能被9整除，证明：x和y能被3整除． 9．如图1－95所示．在四边形ABCD中，对角线AC，BD的中点为M，N，MN的延长线与AB边交于P点．求证：△PCD的面积等于四边形ABCD的面积的一半． 解答：

所以 x=5000(元)．

所以S的末四位数字的和为1＋9＋9＋5=24． 3．因为

a-b≥0，即a≥b．即当b

≥a＞0或b≤a＜0时，等式成立．

4．设上坡路程为x千米，下坡路程为y千米．依题意则 有

由②有2x+y=20， ③ 由①有y=12-x．将之代入③得 2x+12-x=20． 所以 x=8(千米)，于是y=4(千米)． 5．第n项为

所以

6．设p=30q＋r，0≤r＜30．因为p为质数，故r≠0，即0＜r＜30．假设r为合数，由于r＜30，所以r的最小质约数只可能为2，3，5．再由p=30q＋r知，当r的最小质约数为2，3，5时，p不是质数，矛盾．所以，r一定不是合数． 7．设

由①式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即

(4-m)pq+1=2(p+q)．

可知m＜4．由①，m＞0，且为整数，所以m=1，2，3．下面分别研究p，q． (1)若m=1时，有

解得p=1，q=1，与已知不符，舍去． (2)若m=2时，有

因为2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2时无解． (3)若m=3时，有

解之得

故 p＋q=8．

8．因为x2+xy+y2=(x-y)2+3xy．由题设，9｜(x2+xy＋y2)，所以3｜(x2＋xy＋y2)，从而3｜(x-y)2．因为3是质数，故3｜(x-y)．进而9｜(x-y)2．由上式又可知，9｜3xy，故3｜xy．所以3｜x或3｜y．若3｜x，结合3(x-y)，便得3｜y；若3｜y，同理可得，3｜x．

9．连结AN，CN，如图1－103所示．因为N是BD的中点，所以

上述两式相加

另一方面，

S△PCD=S△CND＋S△CNP＋S△DNP．

因此只需证明

S△AND＝S△CNP＋S△DNP．

由于M，N分别为AC，BD的中点，所以

S△CNP=S△CPM-S△CMN =S△APM-S△AMN =S△ANP．

又S△DNP=S△BNP，所以