南通市、扬州市、泰州市、淮安市2016届高三第三次调研测试(十八)
参考公式：
1－－1
样本数据x1，x2，?，xn的方差s2＝n(xi－x)2，其中x＝nxi.
ni＝1ni＝1
柱体的体积V＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
甲 乙 9 8 8 7 9 2 1 0 9 0 1 3 (第3题) 1.已知集合U＝{－1，0，1，2}，A＝{－1，1，2}，则?UA＝________． 2.已知复数z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则z的共轭复数为________．
3.如图是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定(方差较小)的那一位同学的方差为__________．
(第4题)
4.右图是一个算法流程图，则输出的S的值为__________． 5.已知正三棱柱的各条棱长均为a，圆柱的底面直径和高均为b.若它们的体积相等，则a3∶b3的值为________．
1
6.将一枚骰子连续抛掷2次，向上的点数分别为m，n，则点P(m，n)在直线y＝x下方的概率为__________．
2
1
7.函数f(x)＝－2的定义域为__________．
lgx
x22
8.在平面直角坐标系xOy中，双曲线2－y＝1与抛物线y2＝－12x有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线
a
的方程为__________．
π
9.已知两曲线f(x)＝cosx，g(x)＝3sinx，x∈?0，?相交于点A，若两曲线在点A处的切线与x轴分别相交
2??
于B，C两点，则线段BC的长为__________．
(第10题)
→→→→→
10.如图，已知△ABC的边BC的垂直平分线交AC于点P，交BC于点Q.若|AB|＝3，|AC|＝5，则(AP＋AQ)·(AB→
－AC)的值为__________．
11.设数列{an}满足a1＝1，(1－an＋1)(1＋an)＝1(n∈N*)，则100(akak＋1)的值为__________．
k＝1
12.已知函数f(x)＝x2＋ax(a∈R)，g(x)＝不等的实根，则a的取值范围是__________．
(f′(x)为f(x)的导函数)．若方程g(f(x))＝0有四个
(第13题)
1
13.如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，顶点C，D在函数y＝x＋(x＞0)的图象上．记AB＝m，BC＝n，
xm
则2的最大值为__________． n
14.在平面直角坐标系xOy中，圆C1：(x－1)2＋y2＝2，圆C2：(x－m)2＋(y＋m)2＝m2.若圆C2上存在点P满足：过点P向圆C1作两条切线PA，PB，切点为A，B，△ABP的面积为1，则正数m的取值范围是__________．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分14分)
ππ
已知△ABC是锐角三角形，向量m＝?cos?A＋?，sin?A＋??，n＝(cosB，sinB)，且m⊥n.
3?3?????
(1) 求A－B的值；
3
(2) 若cosB＝，AC＝8，求BC的长．
5
16. (本小题满分14分) 如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面PAD，AB∥CD，CD＝2AB＝2BC，M，N分别是棱PA，CD的中点．求证：
(1) PC∥平面BMN；
(2) 平面BMN⊥平面PAC.
17.(本小题满分14分)
x2y22如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，长轴长为4.过椭圆的左顶点
ab2
222
A作直线l，分别交椭圆和圆x＋y＝a于相异两点P，Q.
1AP
(1) 若直线l的斜率为，求的值；
2AQ
→→
(2) 若PQ＝λAP，求实数λ的取值范围．
18.(本小题满分16分)
某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为1m的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形ABCD为中心在圆心的矩形．现计划将矩形ABCD区域设计为可推拉的窗口．
1
(1) 若窗口ABCD为正方形，且面积大于m2(木条宽度忽略不计)，求四根木条总长的取值范围；
4
(2) 若四根木条总长为6m，求窗口ABCD面积的最大值．
19.(本小题满分16分)
已知数列{an}，{bn}均为各项都不相等的数列，Sn为{an}的前n项和，an＋1bn＝Sn＋1(n∈N*)．
n
(1) 若a1＝1，bn＝，求a4的值；
2
(2) 若{an}是公比为q的等比数列，求证：存在实数λ，使得{bn＋λ}为等比数列；
(3) 若{an}的各项都不为零，{bn}是公差为d的等差数列，求证：a2，a3，?，an，?成等差数列的充要条件1是d＝.
2
20.(本小题满分16分)
设函数f(x)＝xex－asinxcosx(a∈R，其中e是自然对数的底数)． (1) 当a＝0时，求f(x)的极值；
π
(2) 若对于任意的x∈?0，?，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围；
2??
π
(3) 是否存在实数a，使得函数f(x)在区间?0，?上有两个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，
2??
请说明理由.
1.{0} 解析：?UA＝{0}．本题主要考查补集的概念．本题属于容易题． 2.3＋4i 解析：z＝3－4i，则z的共轭复数为3＋4i.本题主要考查共轭复数的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题．
3.2 解析：通过数据发现乙同学的数据波动大，即方差大，则成绩较稳定(方差较小)的是甲，他的平均成绩为90，方差为2.本题考查了平均数及方差的概念及计算公式．本题属于容易题．
4.3 解析：由流程图知循环体执行3次，第1次循环S＝11，n＝3；第2次循环S＝8，n＝5；第3次循环S＝3，n＝7.本题考查了算法语句及流程图的基本概念．本题属于容易题．
3
πb33333πb
5.π∶3 解析：由正三棱柱的体积为a，圆柱的体积为，a＝，则a3∶b3的值为π∶3.本
4444
题考查了圆柱与棱柱的体积公式．本题属于容易题．
111
6. 解析：一枚骰子连续抛掷2次的基本事件数为36种，点P(m，n)在直线y＝x下方，即y＜x，当y622
1
＝1时，x＝3，4，5，6；当y＝2时，x＝5，6；共有6种基本事件，所求的概率为.本题考查古典概型，属于容
6
易题．
11
7.(1，10] 解析：由≥2，即0 lgx2 域，对数不等式的解法，属于容易题． 2x222 8.y＝±x 解析：抛物线y＝－12x的焦点坐标为(－3，0)，双曲线2－y＝1中c＝3，a2＋1＝9，a2＝8， 4a 2 则双曲线的两条渐近线的方程为y＝±x.本题考查了抛物线方程、双曲线方程的结构特征，以及双曲线的渐近 4 线的方程．本题属于容易题． ππππ3π4331 9. 解析：由cosx＝3sinx，x∈?0，?，则x＝，A(，)，k1＝－sin＝－，k2＝3cos＝.366262622?? ππππ31333 两条切线方程分别为y－＝－?x－?，y－＝?x－?.它们与x轴交点的横坐标分别为＋3、－.22?22?6636?6?ππ343 则线段BC的长为＋3－?－?＝.本题考查了三角函数的图象与性质，导数的几何意义以及直线方 6?63?3 程．本题属于中等题． →→→→→→→→→→→→→→→ 10.－16 解析：由AP＝AQ－PQ，PQ·CB＝0，则(AP＋AQ)·(AB－AC)＝(2AQ－PQ)·CB＝2AQ·CB＝(AB→→→→→＋AC)·(AB－AC)＝AB 2－AC 2＝9－25＝－16.本题考查了向量线性分解、向量数量积的运算．本题属于中等题． 100111111111. 解析：由(1－an＋1)(1＋an)＝1得－＝1，则an＝，原式＝＋＋＋?＋＝101nan＋1an1×22×33×4100×10111111111100 1－＋－＋－＋?＋－＝1－＝.本题考查了等差数列的定义、通项公式，以及裂项法．本题属22334100101101101于中等题． 2??x＋ax，x≥0， 12.a＜0或a＞2 解析：g(x)＝? ?2x＋a，x<0.? 当a＝0时，显然不成立； 当a>0时，g(x)的图象如图①. 图① aa g(t)＝0有2个不等实根t1＝0，t2＝－，则t1＝f(x)＝0需有2个不等实根，t2＝f(x)＝－需有2个不等实根， 22 f(x)的图象如图②. 图② aa2 只要－>－，即a>2； 24 当a<0时，g(x)的图象如图③. 图③ g(t)＝0有2个不等实根t1＝0，t2＝－a，则t1＝f(x)＝0需有2个不等实根，t2＝f(x)＝－a需有2个不等实根，f(x)的图象如图④. 图④ a2 只要－a>－即a<0即可． 4 综上a<0或a>2. 本题考查了二次函数的性质、分段函数，函数的导数以及数形结合思想和分类讨论思想．本题属于难题． n－n2－4n＋n2－4112 13. 解析：设D(x1，n)，C(x2，n)(0 mm11m 则m＝x2－x1＝n2－4，即n2＝m2＋4，∴2＝2＝≤，当且仅当m＝2时取“＝”，∴2的最大值为nm＋444n m＋ m 1 .本题考查了数形结合思想和基本不等式的运用．本题属于难题． 4 2 14.[1，3＋23] 解析：如图，设∠APC1＝θ，则AP＝. tanθ 2cosθ1－tan2θ1212 ∴S△ABP＝APsin2θ＝·2·sin2θ＝＝1，即＝tanθ－1. 22tanθsinθ1＋tan2θ ππ ∵θ∈?0，?，∴tanθ＝1，即θ＝，此时PC1＝2.则点P在圆C1′：(x－1)2＋y2＝4上，又点P在圆C2： 42?? (x－m)2＋(y＋m)2＝m2上，∴圆C1′与圆C2有交点，即|2－m|≤C1′C2≤2＋m，解之得1≤m≤3＋23，∴正数m的取值范围时[1，3＋23]．本题考查了圆的切线的性质、三角函数的运用、圆与圆相交的条件．本题属于难题． 15.解：(1) 因为m⊥n， 3
南通市、扬州市、泰州市、淮安市2016届高三第三次调研测试(十八)
