高中数学知识点精讲精析 正弦函数

1.4 正弦函数

1·4·1锐角的正弦函数

1．正弦函数的定义：在Rt△ABC中， ∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比 叫做∠A的正弦（sine）。记作sinA。 2. sinA＝

a，由于a是直角边，c是斜边，所sinA∈(0，1)。 c3．正弦函数是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为值的函数。 4．正弦函数是在直角坐标系中用单位圆定义的。 5．sinα整体是一个值，离开α的sinα没有任何意义的。

典型例题 例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值．

B3A4(1)CB35C13A(2)

分析：求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sinB?就是要确定∠B的对边与斜边的比．我们已经知道了∠A对边的值，所以解题时应先求斜边的高． 解：（1），在Rt△ABC中， AB=AC2?BC2?42?32=5．因此 sinA=

BC3AC4=，sinB==． AB5AB5（2），在Rt△ABC中， sinA=

BC5AC122222=，AC=AB?BC?13?5=12．因此，sinB==． AB13AB13例2. 设四边形ABCD中，AB? 3，BC? 2，CD? 1，且?ABD ? ?BCD ? 90?，則sinA ? 。

详解：如图：四边形ABCD中，AB? 3，BC? 2，CD? 1，且?ABD ? ?BCD ? 90?

故得BD ?5，AD ?14，因此，由定义得sinA ?

5 14

153，sinC ?，则sinA= 。 5178411详解：作CH?AB∵ △ABC ?BC．AD ?AB．CH ? CH?

522例3. △ABC中，已知AB? 25，sinB ?AD垂直BC於D，∴ sinA ?

CH84? AC85

1·4·2 任意角的正弦函数

1. 在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角α ，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位元交于点p（u,v）,那么点p纵坐标v叫作角α的正弦函数，记作v=sinα。 2. 周期性。

一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+t)=f(x)成立。那么函数f(x)就叫做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期，如2π，4π，……及-2π，-4π，……都是正弦函数的周期，即2kπ(k≠0,k?z)都是这两个函数的周期，但是所有的周期中总存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。Y=sinx的最小正周期为T=2π.

3. 正弦函数是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为值的函数。 4. sinα整体是一个值，离开α的sinα没有任何意义的。

5. 函数y＝Asin(ωx＋?)的周期即最小正周期是T＝

2?|?|

典型例题 例1 函数y＝sinπx的周期是 。

解：因为函数y＝Asin(ωx＋?)的周期即最小正周期是T＝

2?|?|

2?＝2． ?例2 函数y?sinx?2sin2x?3sin3x的周期性

所以所求函数的周期为T＝

解：由于y1?sinx的周期为2?，y2?2sin2x的周期为?，y3?3sin3x的周期为故y?sinx?2sin2x?3sin3x具有周期T?2?。 例3 证明下列函数为周期函数. y?2sin(x?2?，3?3)

证明：函数定义域为R, 若取T?2?, 那么有 2sin(x?2?? 所以, y是周期函数.

?)?2sin(x?),x?R 33?·1·4·3正弦函数y＝sinπx的图像

作正弦函数图象的方法： （一）描点法（基本方法）

1．列表 2．描点 3．光滑曲线连接

（二）单位圆法作y=sinx在[0，2?]图象。 （三）五点法作图。

正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是： (0,0) (

?3?,1) (?,0) (,-1) (2?,0) 22 五点法作三角函数的简图是常用的作图方法，五点法作正弦、余弦函数的图像的关键是作出图像的五个关键点，即最值点和零点，且函数自变量要用弧度制，便于在x轴、y轴

上统一单位，作出的图像正规。作图过程中要注重整体代换思想的运用，特别是在取值、描点上。曲线的连接要注意曲线的变化趋势。在作图时先画y=sinx在区间[0，2?]上的简图，再通过左右平移得到y=sinx（x∈R）上的图像。

典型例题 例1：作出函数y=1+sinx x?[0，2?]的大致图象。

1．列表（取五个关键点） 2．描点 3．光滑曲线连接

2x x sin2x 2sin2x 0 0 0 0 ?/2 ?/4 1 2 ? ?/2 0 0 3?/2 3?/4 -1 -2 2? ? 0 -1 例2：作出函数

y=2sin2x 在长度为一个周期的闭区间上的大致图象。 解： 2?2?T????|?|2

说明：注意周期的变化。这一类的函数图象我们在以后的课中还要再研究。 例3 画出函数y＝3sin(2x＋解：(五点法)由T＝

?)，x∈R的简图，讨论改图象是y=sinx通过怎样变化得到？32?，得T＝π 列表： 2x ?－ 60 0 ? 3?3sin(2x+ 32x+? 12? 23 ? 3π 0 7? 123? 2–3 5? 62π 0

这种曲线也可由图象变换得到：

左移个单位 ＝sin(x＋即：y＝sinx y?3?) 3纵坐标不变 横坐标变为

y＝sin(2x＋

12倍

?纵坐标变为3倍 ?) y＝3sin(2x＋) 33横坐标不变

例4 利用正弦线画y＝Sinx，x∈[0，2π]的图象。

（1）作直角坐标系，并在直角坐标系中y轴左侧画单位圆。

（2）把单位圆分成12等份。过单位圆上的各点作x轴的垂线可以得到对应于 0，

???，，，L,2?角的正弦线。 632（3）找横坐标：把x轴上从0到 （ 6.28）这一段分成12等份。 （4）找纵坐标：将正弦线对应平移，即可指出相应的12个点。

（5）连线：用平滑的曲线将12个点依次从左到右连接起来，即得y＝Sinx，x∈[0，2π]的图象。

1·4·4正弦函数性质

正弦函数的诱导公式：