解答模型 利用数学方法得出函数模型的数学结果。 解释模型 将数学问题的结果转译成实际问题作出答案。 9. 导数及其应用 概念与几何意义 概念 几何 意义 函数y?f(x)在点x?x0处的导数f'(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0)。 ?xf'(x0)为曲线y?f(x)在点(x0,f(x0)处的切线斜率，切线方程是y?f(x0)?f'(x0)(x?x0)。 nn?1?；(x)??nx(n?N)； C??0（C为常数）(sinx)??cosx，(cosx)???sinx； (ex)??ex，(ax)??axlna（a?0，且a?1）； 11且a?1）． (lnx)??，(logax)??logae（a?0，xx基本 公式 1?1?'??； ??2x?x?1(lnx)'?。 x运算 导数及其应用 研究 函数 性质 [f(x)?g(x)]??f?(x)?g?(x)； [f(x)gg(x)]??f?(x)gg(x)?f(x)gg?(x)运算 法则 ， [Cf(x)]??Cf?(x)；?1???f(x)??f?(x)g(x)?g?(x)f(x)g?(x)???(g(x)?0)， ?． ??g(x)?22g(x)g(x)g(x)????复合函数求导法则y??f(g(x))?'?f'(g(x))g'(x)。 单调性 极值 最值 f'(x)?0的各个区间为单调递增区间；f'(x)?0的区间为单调递减区间。 f'(x0)?0且f'(x)在x0附近左负（正）右正（负）的x0为极小（大）值点。 ?a,b?上的连续函数一定存在最大值和最小值，最大值和区间端点值和区间内的极大值中的最大者，最小值和区间端点和区间内的极小值中的最小者。 概念 定积分 基本 定理 区间?a,b?等分成n个小区间，在每个小区间?xi?1,xi?上任取一点?i（i?1,2,L,n），如果f?x?是baf?x?在区间?a,b?上是连续的，用分点a?x0?x1?L?xi?1?xi?L?xn?b将b?af?x?dx?lim?n??i?1nb?af??i?。 n?a,b?上的连续函数，并且有F??x??f?x?，则?f?x?dx?F?b??F?a?． 性质 ； ?kf?x?dx?k?f?x?dx（k为常数）?f?x??g?x???dx??f?x?d??g?x?dx； ???f?x?dx??f?x?dx??f?x?dx． aabbbaaxabcdaacbb 简单 应用 区间?a,b?上的连续的曲线y?f(x)，和直线x?a.x?b(a?b),y?0所围成的曲边梯形的面积S??baf(x)dx。 10. 三角函数的图像与性质 定义 基本问题 任意角?的终边与单位圆交于点P(x,y)时，sin??y,cos??x,tan??y． x同角三角 函数关系 诱导公式 sin2??cos2??1,sin??tan?。 cos?360???,180???，??，90???,270???， “奇变偶不变，符号看象限”． 值域 周期 单调区间 奇偶性 对称中心 对称轴 三角函数的图象与性质 三角函数的性质与图象 y?sinx （x?R） ??1,1? 2k? 增???????2k?,?2k?? 2?2?3?????2k?? 减??2k?,2?2?x?奇函数 (k?,0) k?? ?2y?cosx （x?R） ??1,1? 2k? 增????2k?,2k?? 减?2k?,2k???? 偶函数 (k?? ?2,0)x?k? y?tanx ?(x?k??) 2图象变换 R k? 增???????k?,?k?? 2?2?奇函数 ?k??,0? ?2??无 上下平移 平移变换 左右平移 y?f(x)图象平移k得y?f(x)?k图象，k?0向上，k?0向下。 y?f(x)图象平移?得y?f(x??)图象，??0向左，??0向右。 x轴方向 伸缩变换 y?f(x)图象各点把横坐标变为原来?倍得y?f(1?x)的图象。 y轴方向 y?f(x)图象各点纵坐标变为原来的A倍得y?Af(x)的图象。 中心对称 对称变换 轴对称 y?f(x)图象关于点(a,b)对称图象的解析式是y?2b?f(2a?x) y?f(x)图象关于直线x?a对称图象的解析式是y?f(2a?x)。
11. 三角恒等变换与解三角形 和差角公式 正弦 倍角公式 sin(???) ?sin?cos??cos?sin?cos(???) ?cos?cos?msin?sin? 变换公式 余弦 正切 tan(???)? tan??tan?1mtan?tan?2tan?1?tan2?21?tan?22cos2??cos2??cos??sin?1?tan2??2cos2??1?1?2sin2?21?cos2?sin?? 21?cos2?2cos?? 2tan?2 tan2??21?tan?sin2??2sin?cos? sin2??定理 正弦 定理 三角恒等变换与解三角形 变形 a?b?c。 sinAsinBsinCa?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC（R外接圆半径）。 三角形两边和一边对角、三角形两角与一边。 射影定理： 类型 定理 余弦 定理 变形 类型 基本 公式 导出 公式 a?bcosC?ccosB b?acosC?ccosA c?acosB?bcosA a2?b2?c2?2bccosA,b2?a2?c2?2accosB,c2?a2?b2?2abcosC。 b2?c2?a2(b?c)2?a2cosA???1等。 2bc2bc两边及一角（一角为夹角时直接使用、一角为一边对角时列方程）、三边。 面积 公式 S?S?111111a?ha?b?hb?c?hc?absinC?bcsinA?acsinB。 222222abc1（R外接圆半径）；S?(a?b?c)r（r内切圆半径）。 4R2实际 把要求解的量归入到可解三角形中。在实际问题中，往往涉及到多个三角形，只基本思想 应用 要根据已知逐次把求解目标归入到一个可解三角形中。 仰视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角。 角 俯视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角。 角 常用术语 方方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始向方向旋转到目标的方向线所成的角（一般是锐角，如北偏西30°）。 角 方位某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角。 角
12. 等差数列﹑等比数列 一般数列 通项公式 数列?an?中的项用一个公式表示，an?f(n) ?S1,n?1,an???Sn?Sn?1,n?2. ?an? 前n项和 Sn?a1?a2?L?an an?1?an?f(n)型 an?1?anf(n)型 累加法 数列、等差数列等比数列 累乘法 简单的递推数列解法 转化法 an?1?pan?q?pn?1(p?0,1,q?0)?an?1an?n?q n?1pp待定 系数法 概念 an?1?can?d(c?0,1,d?0)?an?1???c(an??)。比较系数得出?，转化为等比数列。 解决递推数列问题的基本思想是“转化”，即转化为两类基本数列----等差数列、等比数列求解。 满足an?1?an?d（常数），d?0递增、d?0递减、d?0常数数列。 等差数列 通项 公式 an?a1?(n?1)d?am?(n?m)d am?an?ap?aq?m?n?p?q。 am?an?2ap?m?n?2p。 ?an? 前n项 和公式 等比数列 概念 Sn?na1?n(a1?an)n(n?1)d? 22Sm,S2m?Sm,S3m?S2m,L为等差数列。 满足an?1:an?q（q?0的常数），单调性由a1的正负，q的范围确定。 ?an? 通项 公式 an?a1qn?1?amqn?m aman?apaq?m?n?p?q， aman?a2p?m?n?2p 前n项 和公式 ?a1(1?qn)a1?anq?,q?1,?Sn??1?q1?q?na,q?1.?1 公比不等于?1时，Sm,S2m?Sm,S3m?S2m,L成等比数列。
13. 数列求和及其数列的简单应用 等差数列 Sn?na1?n(a1?an)n(n?1)n(n?1)，特别1?2?3?L?n?。 d?222数列求和及数列的简单应用 常用求和公式 ?a1(1?qn)a1?anq?,q?1,?，特别1?2?22?L?2n?1?2n?1。 1?q等比数列 Sn??1?q?na,q?1.?1自然数 平方和 自然数 立方和 公式法 分组法 12?22?32?L?n2?(2n?1)n(n?1)(2n?1)。 (1?2?L?n)?362?n(n?1)?。 13?23?L?n3?(1?2?L?n)2???2??n如an?2?2n,an?3。 nn如an?2n?2，an?(?1)n?2。 常用裂项方法：常用求和方法 裂项法 错位 相减法 倒序 相加法 如an?111??。 n(n?1)nn?1n如an?(2n?1)?2。 1?1(1?1)； n(n?k)knn?k11?11?????； 2n?12?n?1n?1?11?11?????； 24n?12?2n?12n?1?n?111??。 n(n?1)?2n(n?1)2n?1n?2n 如C?C?L?kC?L?C。 0n1nknnn
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