△ABC中的三角不等式

△ABC中的三角不等式

1.0

3232.0

ABC12sin2sin2￡8

5.

设f(A,B,C)=sin2A+sin2B+sin2C那么f(A,B,C)>2?△ABC为锐角三角形f(A,B,C)=2?△ABC为Rt三角形f(A,B,C)<2?△ABC为钝角三角形

6.0

7.1

3

2

8.0

1

89.

cos

AB2+cos2+cosC3

232

10.0

A2cosBC32cos2￡8311.当△ABC为锐角三角形时，有

tanA+tanB+tanC33312.tan2

A2+tan2B2+tan2C2

3113.0

tan2A+tan2B+tan2C39

15.tan

A2+tanBC

2+tan2

3316.外森比克不等式：

a2+b2+c2343S△ABC

加强：

a2+b2+c2343S2

△ABC+(a-b)+(b-c)2

+(a-c)2

(1)

a2+b2+c23(43S△ABC)+(2a22-b2-c2)2(2)

17.cot

ABC

+cot+cot-2(cotA+cotB+cotC)33222

18.当△ABC为锐角三角形时，有

tanA+tanB+tanC>cotA+cotB+cotC

3

tannA+tannB+tannC>3+n (n?N*)2

(1)(2)(3)

1+cosA+cosB+cosC

?A-B??AB-C?C-A?BC?2?2?÷÷÷÷???19.cos?coscos8sinsinsin3÷÷÷÷????÷÷÷÷????è2?è2?è2?è222?

2

3

20.(cosB+cosC)+(cosC+cosA)+(cosA+cosB)￡321.Walker不等式：

S△ABC232R2+8Rr+3r2

222

22.cot23.

ABBCACcot+cotcot+cotcot39222222

??111111÷?++33?++÷?sinAsinBsinBsinCsinAsinC÷è?cosAcosBcosBcosCcosAcosC

cosA'cosB'cosC'

++sinAsinBsinC

24.在△ABC和△A’B’C’中，有

cotA+cotB+cotC3

25.Carfunkel-Baukoff不等式：

tan2

ABCABC

+tan2+tan232-8sinsinsin222222a2+GA2=b2+GB2=c2+GC2

26.G为△ABC重心27.P为△ABC内任意一点

PA2+PB2+PC2=GA2+GB2+GC2+3PG2

28.29.30.

1?111?cosAcosBcosC÷?++￡++÷?

èabc÷?2?abcabc

+> (m>0)a+mb+mc+m

abc

++33

b+c-aa+c-ba+b-c

A2a

34sinb+c2

31.cosB+cosC+

32.tannA+tannB+tannC=tannA?tannB?tannC (n?Z)33.关于三角函数的一些等式：

?cos2

k=1

n

q

k

=

sinqq2sinn

2

n

(1)

?nd?n+1÷?xdcossin+÷?n÷?è2?2

cos(x+kd)=?dk=0

sin2?nd?n+1÷?xdsinsin+÷?n÷?è2?2

sin(x+kd)=?dk=0

sin2

(2)

(3)

tan(a+b+g)=

tana+tanb+tang-tana?tanb?tang1-tana?tanb-tanb?tang-tana?tang

(4)