一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．某地是国家AAAA级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD，想法测出了尾部C看头顶B的仰角为40，从前脚落地点D看上嘴尖A的仰角刚好60，CB＝5m,CD＝2.7m．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m．于是，他们很快就算出了AB的长．你也算算？（结果精确到0.1m．参考数据：sin40??0.64，cos40??0.77，tan40??0.84.2?1.41,3?1.73）
【答案】AB的长约为0.6m． 【解析】 【分析】
作BF?CE于F，根据正弦的定义求出BF，利用余弦的定义求出CF，利用正切的定义求出DE，结合图形计算即可． 【详解】
解：作BF?CE于F，
在Rt?BFC中，BF＝BC?sin?BCF?3.20，
CF＝BC?cos?BCF?3.85，
AB3??3?1.73， 在Rt?ADEE中，DE?tan?ADE3?BH＝BF﹣HF＝0.20，AH＝EF＝CD?DE﹣CF＝0.58
由勾股定理得，AB?BH2?AH2?0.6(m)， 答：AB的长约为0.6m．
【点睛】
考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
2．如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F点．若AB=6
cm．
（1）AE的长为 cm；
（2）试在线段AC上确定一点P，使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值； （3）求点D′到BC的距离．
【答案】（1）【解析】
；（2）12cm；（3）
cm．
试题分析：（1）首先利用勾股定理得出AC的长，进而求出CD的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案： ∵∠BAC=45°，∠B=90°，∴AB=BC=6
cm，∴AC=12cm．
∵∠ACD=30°，∠DAC=90°，AC=12cm，∴∵点E为CD边上的中点，∴AE=DC=
cm．
（cm）．
（2）首先得出△ADE为等边三角形，进而求出点E，D′关于直线AC对称，连接DD′交AC于点P，根据轴对称的性质，此时DP+EP值为最小，进而得出答案．
（3）连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，进而得出△ABD′≌△CBD′（SSS），则∠D′BG=45°，D′G=GB，进而利用勾股定理求出点D′到BC边的距离． 试题解析：解：（1）
．
（2）∵Rt△ADC中，∠ACD=30°，∴∠ADC=60°， ∵E为CD边上的中点，∴DE=AE．∴△ADE为等边三角形．
∵将△ADE沿AE所在直线翻折得△AD′E，∴△AD′E为等边三角形，∠AED′=60°． ∵∠EAC=∠DAC﹣∠EAD=30°，∴∠EFA=90°，即AC所在的直线垂直平分线段ED′． ∴点E，D′关于直线AC对称．
如答图1，连接DD′交AC于点P，∴此时DP+EP值为最小，且DP+EP=DD′． ∵△ADE是等边三角形，AD=AE=∴
，
，即DP+EP最小值为12cm．
（3）如答图2，连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G， ∵AC垂直平分线ED′，∴AE=AD′，CE=CD′， ∵AE=EC，∴AD′=CD′=
．
在△ABD′和△CBD′中，∵，∴△ABD′≌△CBD′cm，
，
（不合题意舍去）． cm．
（SSS）．∴∠D′BG=∠D′BC=45°．∴D′G=GB． 设D′G长为xcm，则CG长为在Rt△GD′C中，由勾股定理得解得：
∴点D′到BC边的距离为
考点：1．翻折和单动点问题；2．勾股定理；3．直角三角形斜边上的中线性质；4．等边三角形三角形的判定和性质；5．轴对称的应用（最短线路问题）；6．全等三角形的判定和性质；7．方程思想的应用．
3．如图，已知，在
O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AC?BD.
（1）求证：AB?CD；
（2）如图，若直径FG经过点E，求证：EO平分?AED；
（3）如图，在（2）的条件下，点P在CG上，连接FP交AB于点M，连接MG，若
AB?CD，MG平分?PMB，MG?2，?FMG的面积为2，求O的半径的长.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】 【分析】
(1) 利用相等的弧所对的弦相等进行证明；
O的半径的长为10.
（2）连接AO、DO，过点O作OJ?AB于点J，OQ?CD于点Q，证明
?AOJ??DOQ得出OJ?OQ，根据角平分线的判定定理可得结论；
（3）如图，延长GM交
O于点H，连接HF，求出FH?2，在HG上取点L，使
HL?FH，延长FL交O于点K，连接KG，求出FL?22，设HM?n，则有LK?KG?22n，FK?FL?LK?22?n，再证明22?KFG??EMG??HMF，从而得到tan?KFG?tan?HMF，
LK和FK的值可得n=4,再求得FG的长，最后得到圆的半径为10． 【详解】
解：（1）证明：∵AC?BD，∴AC?CB?BD?CB， ∴AB?CD， ∴AB?CD.
KGHF?，再代入FKHM（2）证明：如图，连接AO、DO，过点O作OJ?AB于点J，OQ?CD于点Q，
∴?AJO??DQO?90?，AJ?又∵AO?DO， ∴?AOJ??DOQ， ∴OJ?OQ，
又∵OJ?AB，OQ?CD， ∴EO平分?AED.
11AB?CD?DQ， 22
（3）解：∵CD?AB，∴?AED?90?，
1?AED?45?， 2如图，延长GM交O于点H，连接HF，
由（2）知，?AEF?
∵FG为直径，∴?H?90?，S?MFG?∵MG?2，∴FH?2，
1?MG?FH?2， 2在HG上取点L，使HL?FH，延长FL交∵FG为直径，∴?K?90?，
O于点K，连接KG，
∴?HFL??HLF?45?，?KLG??HLF?45?， ∴?KGL?90???KLG?45???KLG，∴LK?KG， 在Rt?FHL中，FL2?FH2?HL2，FL?22， 设HM?n，HL?MG?2，
中考数学(锐角三角函数提高练习题)压轴题训练及答案
