2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）
一 填空题（每题4分，共32分） 1.limsinx?sin(sinx)? x?0sinxln(x?1?x2)/y? 2.y?，21?x3.y?cos2x，y(n)(x)? 4.?5.?1?xxedx? 2x??21dx? 1?x42x?2y?z?2?0??6.圆?2的面积为 22??x?y?z?4x?2y?2z?19x7.z?f(2x?y,)，f可微，f1/(3,2)?2,f2/(3,2)?3，则dzy(x,y)?(2,1)? 1?(?1)nn!8.级数?的和为 . n2n!n?1?二.（10分）
设f(x)在?a,b?上连续，且b?f(x)dx??xf(x)dx，求证：存在点???a,b?，使得
aabb?a?f(x)dx?0.
三．（10分）已知正方体ABCD?A1B1C1D1的边长为2，E为D1C1的中点，F为侧面正方形BCC1B1的中点，（1）试求过点A1,E,F的平面与底面ABCD所成二面角的值。（2）试求过点A1,E,F的平面截正方体所得到的截面的面积.
四（12分）已知ABCD是等腰梯形，BC//AD,AB?BC?CD?8,求AB,BC,AD的长，使得梯形绕AD旋转一周所得旋转体的体积最大。
五（12分）求二重积分???cos2x?sin2y?dxdy，其中D:x2?y2?1,x?0,y?0
D?x20?x?1六、（12分）求??x?2y?e?dx?x?1?y?dy，其中?为曲线?2从2??x?y?2x1?x?2xO?0,0?到A?1,?1?.
七.（12分）已知数列?an?单调增加，a1?1,a2?2,a3?5,,an?1?3an?an?1
?n?2,3,?1?,记xn?a，判别级数?xn的敛散性.
n?1n2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科三级）
一 填空题（每题4分，共32分） 1.limsinx?sin(sinx)? x?0sinx2.y?arctanx2?extanx，y/? 3.设由xy?yx确定y?y?x?，则
dy? dx4.y?cos2x，y(n)(x)? 5.?1?xxedx? x2(x,y)?(2,1)? x6.z?f(2x?y,)，f可微，f1/(3,2)?2,f2/(3,2)?3，则dzy7设f?u,v?可微，由F?x?z2,y?z2??0确定z?z?x,y?，则8.设D:x2?y2?2x,y?0，则??x2?y2dxdy?
D?z?z?? ?x?y二.（10分）设a为正常数，使得x2?eax对一切正数x成立，求常数a的最小值三.（10分）设f?x?在?0,1?上连续，且?f(x)dx??xf(x)dx，求证：存在点???0,1?，使得
0011?0?f(x)dx?0.
??四.（12分）求广义积分?21dx 41?x五．（12分）过原点?0,0?作曲线y??lnx的切线，求该切线、曲线y??lnx与x轴所围成的图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积.
六、（12分）已知ABCD是等腰梯形，BC//AD,AB?BC?CD?8,求AB,BC,AD的长，使得梯形绕AD旋转一周所得旋转体的体积最大。
七（12分）求二重积分???cos2x?sin2y?dxdy，其中D:x2?y2?1,x?0,y?0
D2008年江苏省高等数学竞赛题（本科一级）
一．填空题（每题5分，共40分） 1.a ，b 时，limxax2xarctanxbxxln(1ax)2
2. a ，b 时f(x)x在x1bx0时关于x的
无穷小的阶数最高。 3.
20sin2xcos4xdx t,y2,z2t的平面方程为
4.通过点1,1,1与直线x5.设z2xx2yn,则2z(2,1)yn=
6.设D为y7.设为x2(yexx)dxx,xy20,y2x(y1围成区域，则
Darctanydxdy 0)上从O(0,0)到A(2,0)的一段弧，则
(exxy)dy= 8.幂级数
n1nxn的和函数为 ，收敛域为 。
二．（8分）设数列xn为x13,x233,,xn233xn(n1,2,)
证明：数列xn收敛，并求其极限
三．（8分）设f(x)在a,b上具有连续的导数，求证
maxf(x)1babaaxbf(x)dxbaf/(x)dx
四．（8分）1）证明曲面:x(bacos)cos,yasin,z(bacos)sin
02,020ab为旋转曲面
2）求旋转曲面所围成立体的体积
五．（10分）函数u(x,y)具有连续的二阶偏导数，算子A定义为 1）求A(ux2A(u))；2)利用结论1）以
2y,xxy为新的自变量改变方程
ux22u2xyxyt0y2uy2t20的形式
tx六．（8分）求lim1t60dxsin(xy)2dy
1(z0)的外侧，连续函数
七．（9分）设:x2求f(x,y) 八．（9分）求f(x)y2z2x2(x3)的关于x的幂级数展开式 3(x1)(13x)2006年江苏省高等数学竞赛试题（本科一、二级）
一.填空（每题5分，共40分） 1.f?x??a，lim2. lim?xx31ln??f?1?f?2?n??n4f?n????
1??tx?2e?1dt?
x?00x51arctanxdx? 3. ?022?1?x?4.已知点A??4,0,0?,B(0,?2,0),C(0,0,2),O为坐标原点，则四面体OABC的内接球面方程为
5. 设由x?zey?z确定z?z(x,y)，则dz?e,0???? 6.函数f?x,y??e?x?ax?b?y2?中常数a,b满足条件 时，f??1,0?为其极大值.
7.设?是y?asinx(a?0)上从点?0,0?到??,0?的一段曲线，a? 时，曲线积分
??x?2?y?dx?2xy?eydy取最大值.
2??8.级数???1?n?1?n?1n?1?n条件收敛时，常数p的取值范围是 pn二.（10分）某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶，经2小时到达乙地停止，一路畅通，若开车的最大速度为100公里/小时，求证：该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于?200公里/小时3
????三.（10分）曲线?的极坐标方程为??1?cos??0????，求该曲线在??所对应的
2?4?点的切线L的直角坐标方程，并求切线L与x轴围成图形的面积.
四（8分）设f(x)在???,???上是导数连续的有界函数，f?x??f??x??1， 求证：f?x??1.x????,???
五（12分）本科一级考生做：设锥面z2?3x2?3y2(z?0)被平面x?3z?4?0截下的有限部分为?.（1）求曲面?的面积；（2）用薄铁片制作?的模型，A(2,0,23),B(?1,0,3)为?上的两点，O为原点，将?沿线段OB剪开并展成平面图形D，以OA方向为极坐标轴建立平面极坐标系，写出D的边界的极坐标方程.
本科二级考生做：设圆柱面x2?y2?1(z?0)被柱面z?x2?2x?2截下的有限部分为?.为计算曲面?的面积，用薄铁片制作?的模型，A(1,0,5),B(?1,0,1),C??1,0,0?为?上的三点，将?沿线段BC剪开并展成平面图形D，建立平面在极坐标系，使D位于x轴正上方，点A坐标为?0,5?，写出D的边界的方程，并求D的面积.
?x2?2z六（10分）曲线?绕z轴旋转一周生成的曲面与z?1,z?2所围成的立体区域记为
?y?0?，
本科一级考生做????1dxdydz 222x?y?z本科二级考生做????x2?y2?z2?dxdydz
?七（10分）本科一级考生做1）设幂级数?anx的收敛域为??1,1?，求证幂级数?2nn?1?annxnn?1?的收敛域也为??1,1?；2）试问命题1）的逆命题是否正确，若正确给出证明；若不正确
江苏省高等数学竞赛试题汇总
