2000年全国初中数学竞赛试题解答
一、选择题（只有一个结论正确） 1、设
的平均数为M，
的平均数为N，N，的平均数为P，若
，则M与P的大小关系是（ ）。
（A）M＝P；（B）M＞P；（C）M＜P；（D）不确定。
答：（B）。∵M＝
，∵
即M＞P。
，N＝，∴
，P＝
＞
，M－P＝，即M－P＞0，
2、某人骑车沿直线旅行，先前进了千米，休息了一段时间，又原路返回千米
（），再前进千米，则此人离起点的距离S与时间t的关系示意图是（ ）。
答：（C）。因为图（A）中没有反映休息所消耗的时间；图（B）虽表明折返后S的变化，但没有表示消耗的时间；图（D）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C）正确地表述了题意。
3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ）。 （A）甲比乙大5岁；（B）甲比乙大10岁；（C）乙比甲大10岁；（D）乙比甲大5岁。
答：（A）。由题意知3×（甲－乙）＝25－10，∴甲－乙＝5。
4、一个一次函数图象与直线平行，与轴、轴的交点分别为A、B，并且过点（－1，－25），则在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有（ ）。
（A）4个；（B）5个；（C）6个；（D）7个。
答：（B）。在直线AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是＝－1＋4N，＝－25＋5N，（N是整数）．在线段AB上这样的点应满足－1＋4N＞0，且－25＋5N≤0，∴
≤N≤5，即N＝1，2，3，4，5。
5、设分别是△ABC的三边的长，且的关系是（ ）。
，则它的内角∠A、∠B
（A）∠B＞2∠A；（B）∠B＝2∠A；（C）∠B＜2∠A；（D）不确定。
答：（B）。由得，延长CB至D，使BD＝AB，于是CD＝，在△ABC与△DAC中，∠C为公共角，且BC:AC＝AC:DC，
∴△ABC∽△DAC，∠BAC＝∠D，∵∠BAD＝∠D，∴∠ABC＝∠D＋∠BAD＝2∠D＝2∠BAC。
6、已知△ABC的三边长分别为
，面积为S1，且
（ ）。
（A）S＞S1；（B）S＜S1；（C）S＝S1；（D）不确定。
，面积为S，△A1B1C1的三边长分别为
，则S与S1的大小关系一定是
答：（D）。分别构造△ABC与△A1B1C1如下：①作△ABC∽△A1B1C1，显然
，即S＞S1；②设，则，S＝10，
，则S1＝
，则
×100＞10，即S＜S1；③设，S＝10，
，则
，S1＝10，即S＝S1；因此，S与S1的大小关系不确定。
二、填空题
7、已知：，那么＝________。
答：1。∵，即。
∴
。
8、如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝8，BC＝6120°，则梯形ABCD的面积等于________。
，∠BCD＝45°，∠BAD＝
答：66＋66
（平方单位）。作AE、BF垂直于DC，垂足分别为E、F，由BC＝
，∠BCD＝45°，得AE＝BF＝FC＝6。由∠BAD＝120°，得∠DAE＝30°，因
为AE＝6得DE＝2∴
，AB＝EF＝8，DC＝2＋8＋6＝14＋2
。
，
9、已知关于的方程的整数有________个。 答：5。①当
时，
；②当
的根都是整数，那么符合条件
时，易知
，∴
是方程的一个整数根，
；由
再由且是整数，知①、②得符合条件的整数有5个。
10、如图，工地上竖立着两根电线杆AB、CD，它们相距15米，分别自两杆上高出地面4米、6米的A、C处，向两侧地面上的E、D；B、F点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆。那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为________米。
答：2.4米。作PQ⊥BD于Q，设BQ＝
米，QD＝
米，PQ＝
米，由
AB∥PQ∥CD，得及，两式相加得，由此得
米。即点P离地面的高度为2.4米。（注：由上述解法知，AB、CD之间
相距多远，与题目结论无关。）
11、如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线
恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，那么
＝________。
答：。直线
通过
通过点D（15，5），故BD＝1。当，
时，直线
两点，则它恰好将矩形OABC分成面积相等
的两部分。
12、某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4％，使得利润率增加了8个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是________。
（注：
答：17％。设原进价为
×100％）
元，销售价为
元，那么按原进价销售的利润率为
×100％，原进价降低6.4％后，在销售时的利润率为
×100％，依题意得：
×100％＋8％＝
来的利润率为三、解答题 13、设
是不小于
×100％，解得
×100％＝17％。
＝1.17，故这种商品原
的实数，使得关于的方程
。
有两个不相等的实数根
（1）若
，求
的值。
（2）求的最大值。
解：因为方程有两个不相等的实数根，所以
全国初中数学竞赛历年竞赛试题及参考答案
