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巩固训练
1.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC一定是 三角形. 2.在△ABC中，A=120°,AB=5,BC=7，则sinB的值为 .
sinC3.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且面积S△ABC=1（b2+c2-a2），则A= .
44.在△ABC中，BC=2，B=?，若△ABC的面积为
332，则tanC为 .
5.在△ABC中，a2-c2+b2=ab,则C= .
6.△ABC中，若a4+b4+c4=2c2(a2+b2),则C= .
7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，若a=1,b=7,c=3,则B= .
8.某人向正东方向走了x千米，他右转150°，然后朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x的值是 . 9.下列判断中不正确的结论的序号是 . ①△ABC中，a=7，b=14，A=30°,有两解 ②△ABC中，a=30,b=25,A=150°，有一解 ③△ABC中，a=6,b=9，A=45°，有两解 ④△ABC中，b=9,c=10,B=60°,无解
10. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，并且a2=b(b+c). （1）求证：A=2B；
（2）若a=3b,判断△ABC的形状.
11. 在△ABC中，cosB=-（1）求sinA的值；
513，cosC=4.
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（2）△ABC的面积S△ABC=33，求BC的长.
2
12.已知a、b、c是△ABC的三边长，关于x的方程ax2-2c2?b2 x-b=0 (a＞c＞b)的两根之差的平方等于4，△ABC的面积S=103，c=7. （1）求角C；
（2）求a，b的值.
13. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a+b=5，c=7，且4sin2
A?B2-cos2C=7.
2(1)求角C的大小； （2）求△ABC的面积.
14．(人教A版教材习题改编)如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )．
252
A．502 m B．503 m C．252 m D. m
2
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15．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )． A．α＞β B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180° 16．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的( )．
A．北偏东15° B．北偏西15° C．北偏东10° D．北偏西10° 17．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )．
A．5海里 B．53海里C．10海里 D．103海里
18．海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，则
B，C间的距离是________海里．
19.如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？
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参考答案
例题答案
题型一 正弦、余弦定理
【例题1】 解 ∵B=45°＜90°且asinB＜b＜a,∴△ABC有两解.
由正弦定理得sinA=
asinB3sin45?3= =, b22则A为60°或120°.
①当A=60°时，C=180°-(A+B)=75°, c=
bsinC=sinB2sin75?=
sin45?2sin(45??30?)6?2=.
sin45?22sin(45??30?)6?2=.
sin45?2②当A=120°时，C=180°-(A+B)=15°, c=
2sin15?bsinC==sin45?sinB故在△ABC中，A=60°,C=75°,c=A=120°,C=15°,c=
6?2. 26?2或 2a2?c2?b2【例题2】 解（1）由余弦定理知：cosB=，
2aca2?b2?c2.
2abcosBb将上式代入=-得:
cosC2a?ccosC=
b2aba2?c2?b2·222=- 2a?c2aca?b?c整理得:a+c-b=-ac
1a2?c2?b2?ac∴cosB== =-
2ac22ac2∵B为三角形的内角，∴B=?.
32（2）将b=13,a+c=4,B=?代入
3222
b=a+c-2accosB,得b=(a+c)-2ac-2accosB ∴b=16-2ac?1??,∴ac=3.
?2
22222
?1?2?∴S△ABC=acsinB=
1233. 4b2?c2?a2?bc1【例题3】解（1）∵cosA===-,
2bc2bc2又∵A∈（0°，180°），
∴A=120°.
22
（2）由a=3,得b+c=3-bc,
22
又∵b+c≥2bc（当且仅当c=b时取等号），
∴3-bc≥2bc(当且仅当c=b时取等号）.
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即当且仅当c=b=1时，bc取得最大值为1.
abc???2R, sinAsinBsinCasin(30??C)2RsinAsin(30??C)?∴
b?c2RsinB?2RsinC（3）由正弦定理得：
313(cosC?sinC)sinAsin(30??C)222= = sinB?sinCsin(60??C)?sinC33cosC?sinC)14= ?4233cosC?sinC22【变式】
1. 2
2. 解（1）由正弦定理得
ab?. sinAsinB∵B=60°,C=75°,∴A=45°,
asinB8?sin60??=46. sinAsin45?csinB8sin30??(2)由正弦定理得sinC==1. b4∴b=
又∵30°＜C＜150°,∴C=90°.
∴A=180°-(B+C)=60°,a=c2?b2=43. 3. 103
222
4. 解 依题意得absinC=a+b-c+2ab,
222
由余弦定理知,a+b-c=2abcosC. 所以,absinC=2ab(1+cosC), 即sinC=2+2cosC,
CC2Ccos =4cos 222C化简得：tan=2.
2C2tan2=-4. 从而tanC=
C31?tan22所以2sin
5.
?2?3 6. 或
3332
2
7. 解 （1）由余弦定理及已知条件，得a+b-ab=4.
又因为△ABC的面积等于3， 所以absinC=3，所以ab=4. 联立方程组???a?2?a2?b2?ab?4, 解得?.
b?2?ab?4,??12（2）由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA, 即sinBcosA=2sinAcosA, 当cosA=0时，A=
??4323，B=，a=，b=. 2633标准文案
最全面地解三角形讲义
