第1讲 导数的概念及运算
一、选择题
1．设y＝x2ex，则y′＝
( )
A．x2ex＋2x C．(2x＋x2)ex
解析 y′＝2xex＋x2ex＝(2x＋x2)ex. 答案 C
2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′(1)等于
( )
A．－e C．1
B．－1 D．e B．2xex D．(x＋x2)ex
1解析 由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋x， ∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1. 答案 B
3．曲线y＝sin x＋ex在点(0,1)处的切线方程是
( )
A．x－3y＋3＝0 C．2x－y＋1＝0
B．x－2y＋2＝0 D．3x－y＋1＝0
解析 y′＝cos x＋ex，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0. 答案 C
4．(2017·成都诊断)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为
( )
11A．e B．－e C.e D．－e
1
解析 y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝x，设切点为(x0，ln x0)，则y′|x
11
＝x0＝x，切线方程为y－ln x0＝x(x－x0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x0
001
＝－1，解得x0＝e，故此切线的斜率为e. 答案 C
1＋cos x?π?
5．(2017·昆明诊断)设曲线y＝sin x在点?2，1?处的切线与直线x－ay＋1＝0
??平行，则实数a等于
( )
A．－1 C．－2
－1－cos x
解析 ∵y′＝sin2 x，∴1
由条件知a＝－1，∴a＝－1. 答案 A 二、填空题
6．若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________. 1
解析 因为y′＝2ax－x，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线1
平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，解得a＝2. 1
答案 2
7.(2017·长沙一中月考)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.
1
B.2 D．2 ＝－1.
1
解析 由图形可知：f(3)＝1，f′(3)＝－3，∵g′(x)＝f(x)＋xf′(x)， ∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1－1＝0. 答案 0
8．(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.
1
解析 由y＝x＋ln x，得y′＝1＋x，得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2，所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. 又该切线与y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切， 消去y，得ax2＋ax＋2＝0， ∴a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8. 答案 8 三、解答题
1
9．已知点M是曲线y＝3x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：
(1)斜率最小的切线方程； (2)切线l的倾斜角α的取值范围． 解 (1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1， 5
所以当x＝2时，y′＝－1，y＝3， 5??2，所以斜率最小的切线过点?， 3???
11
斜率k＝－1，所以切线方程为x＋y－3＝0. (2)由(1)得k≥－1，
π??3π??
所以tan α≥－1，所以α∈?0，2?∪?4，π?.
????
10．已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0
在第三象限． (1)求P0的坐标；
(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程． 解 (1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1， 由已知令3x2＋1＝4，解之得x＝±1. 当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.
又∵点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为(－1，－4)．
1
(2)∵直线l⊥l1，l1的斜率为4，∴直线l的斜率为－4.∵l过切点P0，点P01
的坐标为(－1，－4)，∴直线l的方程为y＋4＝－4(x＋1)，即x＋4y＋17＝0. 11．(2016·山东卷)若函数y＝f(x)的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质，下列函数中具有T性质的是
( )
A．y＝sin x C．y＝ex
B．y＝ln x D．y＝x3
解析 若y＝f(x)的图像上存在两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))， 使得函数图像在这两点处的切线互相垂直，则f′(x1)·f′(x2)＝－1.
对于A：y′＝cos x，若有cos x1·cos x2＝－1，则当x1＝2kπ，x2＝2kπ＋π(k∈Z)时，结论成立；
111对于B：y′＝x，若有x·x＝－1，即x1x2＝－1，∵x1＞0，x2>0，∴不存在x1，
1
2
x2，使得x1x2＝－1；
对于C：y′＝ex，若有ex1·ex2＝－1，即ex1＋x2＝－1.显然不存在这样的x1，
x2；
222
对于D：y′＝3x2，若有3x1·3x2＝－1，即9x2显然不存在这样的x1，1x2＝－1，
x2. 答案 A
12．(2017·合肥模拟)点P是曲线x2－y－ln x＝0上的任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为
( )
35
A．1 B.2 C.2 D.2
解析 点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，当过点P的切线和直线y＝x－2平行时，
点P到直线y＝x－2的距离最小， 直线y＝x－2的斜率为1，令y＝x2－ln x， 11
得y′＝2x－x＝1，解得x＝1或x＝－2(舍去)，
故曲线y＝x2－ln x上和直线y＝x－2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)， 点(1,1)到直线y＝x－2的距离等于2， ∴点P到直线y＝x－2的最小距离为2. 答案 D
1
13．若函数f(x)＝2x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．
1
解析 ∵f(x)＝2x2－ax＋ln x， 1
∴f′(x)＝x－a＋x(x>0)．
∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，
导数的概念及运算练习含答案
