2024高考数学大一轮复习第七章不等式7-4基本不等式及其应用教师用书

2024年

【2024最新】精选高考数学大一轮复习第七章不等式7-4基本不等式及其

应用教师用书

1．基本不等式≤a＋b

2

(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同号)． (3)ab≤2 (a，b∈R)． (4)≥2 (a，b∈R)．

以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 3．算术平均数与几何平均数

设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小)

(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大) 【知识拓展】

不等式的恒成立、能成立、恰成立问题

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(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)>A在区间D上恒成立?f(x)min>A(x∈D)；

若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)

(2)能成立问题：若f(x)在区间D上存在最大值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立?f(x)max>A(x∈D)；

若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)

(3)恰成立问题：不等式f(x)>A恰在区间D上成立?f(x)>A的解集为D； 不等式f(x)

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝x＋的最小值是2.( × )

(2)函数f(x)＝cos x＋，x∈(0，)的最小值等于4.( × ) (3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．( × ) (4)若a>0，则a3＋的最小值为2.( × )

(5)不等式a2＋b2≥2ab与≥有相同的成立条件．( × ) (6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ )

1．(教材改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( ) A．80 B．77 C．81 D．82 答案 C

解析 ∵x>0，y>0，∴≥， 即xy≤()2＝81，

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当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.

2．(教材改编)已知x>0，a>0，当y＝x＋取最小值时，x的值为( ) A．1 B．a C. D．2答案 C

解析 y＝x＋≥2， 当且仅当x＝即x＝时，

a

y＝x＋有最小值2.

3．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.≤ C.≥2 答案 D

解析 4＝a＋b≥2(当且仅当a＝b时，等号成立)，即≤2，ab≤4，≥，选项A，C不成立；＋＝＝≥1，选项B不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8，选项D成立．

4．(2016·宁波期末)若正数x，y满足x2＋4y2＋x＋2y＝1，则xy的最大值为________． 答案

2－3

4

B.＋≤1 D．a2＋b2≥8

解析 由题意得

1＝x2＋4y2＋x＋2y≥4xy＋2·， 则≤，则xy≤()2＝.

题型一 利用基本不等式求最值 命题点1 通过配凑法利用基本不等式

例1 (1)已知0

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(2)已知x<，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________． (3)函数y＝(x>1)的最小值为________． 答案 (1) (2)1 (3)2＋2

解析 (1)x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)≤·[]2＝， 当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，取等号． (2)因为x<，所以5－4x>0，

则f(x)＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立． 故f(x)＝4x－2＋的最大值为1. (3)y＝＝＝

x2－2x＋1＋2x－2＋3

x－1

x－12＋2x－1＋3

x－1

＝(x－1)＋＋2≥2＋2.

当且仅当(x－1)＝，即x＝＋1时，等号成立． 命题点2 通过常数代换法利用基本不等式

例2 已知a>0，b>0，a＋b＝1，则＋的最小值为________． 答案 4

解析 ∵a>0，b>0，a＋b＝1， ∴＋＝＋＝2＋＋b ≥2＋2＝4，即＋的最小值为4，当且仅当a＝b＝时等号成立． 引申探究

1．若条件不变，求(1＋)(1＋)的最小值． 解 (1＋)(1＋)＝(1＋)(1＋)＝(2＋)·(2＋) ＝5＋2(＋)≥5＋4＝9.

a

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当且仅当a＝b＝时，取等号．

2．已知a>0，b>0，＋＝4，求a＋b的最小值． 解 由＋＝4，得＋＝1.

∴a＋b＝(＋)(a＋b)＝＋＋≥＋2 ＝1. 当且仅当a＝b＝时取等号．

3．若将条件改为a＋2b＝3，求＋的最小值． 解 ∵a＋2b＝3， ∴a＋b＝1，

∴＋＝(＋)(a＋b)＝＋＋＋3a ≥1＋2 ＝1＋.

当且仅当a＝b时，取等号．

思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．

(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．

(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．

(1)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________．

(2)已知x，y∈(0，＋∞)，2x－3＝()y，若＋(m>0)的最小值为3，则m＝________. 答案 (1)5 (2)4

解析 (1)方法一 由x＋3y＝5xy，可得＋＝1，

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