模块过关检测
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单选题(共8小题,每小题5分,共40分)
1.已知a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=2x-2a,则x=( ) A.(0,3,-6) C.(0,6,-6)
1
1
B.(0,6,-20) D.(6,6,-6)
解析由b=2x-2a,得x=4a+2b=(8,12,-16)+(-8,-6,-4)=(0,6,-20). 答案B 2.已知直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,若a=(1,1,1),n=(-1,0,1),则直线l与平面α的位置关系是( ) A.垂直 B.平行 C.相交但不垂直
D.直线l在平面α内或直线l与平面α平行
解析∵a·n=-1+1=0,∴a⊥n,∴直线l在平面α内或直线l与平面α平行.故选D. 答案D 3.若圆x2+y2-ax-2y+1=0关于直线x-y-1=0对称的圆的方程是x2+y2-4x+3=0,则a的值等于( ) A.0 解析圆B.2
x2+y2-ax-2y+1=0
C.1
D.±2
??2??2??
的标准方程为(??-)+(y-1)2=,圆心坐标为(,1),
242圆x2+y2-4x+3=0的标准方程为(x-2)2+y2=1,圆心坐标为(2,0),半径为1, 连心线所在直线的斜率为??=??-4, 2-2中点坐标为(,),
42??2
4=1,
由题意可得2·1=-1,
??-4 ??+4-1-1={42??+41
1
2
解得a=2. 0,
答案B 1????? =a,????????? =b,????????? =c,则4.如图,在棱长均相等的四面体O-ABC中,点D为AB的中点,CE=2ED,设????
????? ????=( )
A.6a+6b+3c B.3a+3b+3c C.6a+6b-3c D.a+b+c
1????? =1????????? =1(????????? +????? 解析∵CE=ED,∴????????)
2331????? 1????? 1????? 1?????
=(????+????)=????+????, 32361616231
1
1
1
1
1
1
1
1
????? +????????? =????????? +????????? +????????? ∴????? ????=????36????? +1(????????? -????????? )+1(????????? -????????? ) =????3611????? 2????? 112
=????? ????+????+????=a+b+c. 6
6
3
6
6
3
11
答案D ??2
5.若双曲线C:2??
?
??2??
22
2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)+y=4
所截得的弦长为2,则C的离心率为
( ) A.2
B.√3 C.√2
D.3 2√3解析双曲线的渐近线方程为bx±ay=0,
圆心(2,0)到渐近线距离为d=√22-12=√3, 则点(2,0)到直线bx+ay=0的距离为 d=|2??+??×0|√??2+??2=??=√3, 2??
4(??2-??2)
即??2=3,整理可得c2=4a2,
双曲线的离心率e=√??2=√4=2.
??2
答案A 6.如图,在几何体ABC-A1B1C1中,△ABC为正三角形,AA1∥BB1∥CC1,AA1⊥平面ABC,若E是棱B1C1的中点,且AB=AA1=CC1=2BB1,则异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为( ) A.13 √13B.13
2√13C.13
√26D.13
2√26
解析以C为原点,在平面ABC内过C作BC的垂线为x轴,CB为y轴,CC1为z轴,建立空间直角坐标系,设AB=AA1=CC1=2BB1=2,
31???????
则A1(√3,1,2),A(√3,1,0),C1(0,0,2),B1(0,2,1),E(0,1,),??????? ??1??=(-√3,0,-),????1=(-√3,-1,2), 22设异面直线A1E与AC1所成角为θ, 则
????? ||????????? ??1??·????????1cosθ=????????? ????????? |??1??|·|????1|
=
=13. √13·√84√262√26∴异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为13.
答案C ???????? ??????? ??????? ??????? 7.设F1,F2分别是双曲线x2-9=1的左、右焦点.若P在双曲线上,且?????1·????2=0,则|????1+????2|=( )
2
A.2√5 B.√5 C.2√10 D.√10
解析由题意,知双曲线两个焦点的坐标分别为
F1(-√10,0),F2(√10,0). 设点P(x,y),
?????? ??????? 则?????1=(-√10-x,-y),????2=(√10-x,-y). ?????? ??????? ∵?????1·????2=0,
∴x2+y2-10=0,即x2+y2=10.
?????? ??????? ∴|?????1+????2|
2?????? ??????? 2??????? ??????? =√|?????1|+|????2|+2????1·????2
=√2(??2+??2)+20=2√10. 答案C 8.(2020·福建厦门双十中学高三期中)阿波罗尼斯(约公元前262—190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A,B间的距离为2,动点P满足|????|=√2,当P,A,B不共线时,三角形PAB面积的最大值是( )
|????|
A.2√2 B.√2 C.3
2√2D.3 √2解析以经过A,B的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,
则A(-1,0),B(1,0),设P(x,y),∵√(??+1)2+??2√(??-1)2+??2
|????||????|
=√2,
∴=√2,
两边平方并整理,得x2+y2-6x+1=0?(x-3)2+y2=8,
当点P到AB(x轴)的距离最大时,三角形PAB的面积最大,此时面积为2×2×2√2=2√2. 答案A 1
二、多选题(共4小题,每小题5分,共20分.错选得0分,少选得3分)
9.瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上,后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点A(-4,0),B(0,4),其欧拉线方程为x-y+2=0,则顶点C的坐标可以是( ) A.(2,0)
B.(0,2)
C.(-2,0)
D.(0,-2)
解析设C(x,y),AB的垂直平分线为y=-x,
△ABC的外心为欧拉线方程为x-y+2=0 与直线y=-x的交点,即M(-1,1),
∴|MC|=|MA|=√10,∴(x+1)2+(y-1)2=10,①
由A(-4,0),B(0,4),C(x,y),得△ABC重心为(得x-y-2=0,②
由①②可得x=2,y=0或x=0,y=-2. 答案AD 10.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=4,BC=2,M,N分别为棱C1D1,CC1的中点,则下列说法正确的是( )
??-4??+4
,),代入欧拉线方程33x-y+2=0,
A.A、M、N、B四点共面 B.平面ADM⊥平面CDD1C1 C.直线BN与B1M所成的角为60° D.BN∥平面ADM
解析对于A,由图显然AM、BN是异面直线,故A、M、N、B四点不共面,故A错误;
对于B,由题意AD⊥平面CDD1C1,故平面ADM⊥平面CDD1C1,故B正确; 对于C,取CD的中点O,连接BO、ON,可知三角形BON为等边三角形,故C正确;
对于D,BN∥平面AA1D1D,显然BN与平面ADM不平行,故D错误. 答案BC 11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,给出下列四个命题,其中正确的命题是( ) ??????? ?????????? ????????? 2????????? A.(??1??+??1??1+??1??1)=3??1??1; ??????? B.??(????????? ??1??1???????? ??1??)=0; 1??·
??????? ??????? C.向量????1与向量??1??的夹角为60°;
????? ·??????????? ????? D.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|????1·????|.
2
??????? ?????????? ????????? 2??????? 2????????? ????????? 解析A中,设正方体的棱长为1,则(??1??+??1??1+??1??1)=??1??=3,3??1??1=3,故A正确;B中,??1??1?
??????? ??????? ??1??=????1,
??????? ??????? ??????? ??????? 由????1⊥??1??,故B正确;C中,A1B与AD1两异面直线所成角为60°,但????1与??1??的夹角为120°,
????? ·??????????? ????? 故C不正确;D中,|????1·????|=0,故D也不正确. 答案AB 12.若曲线C上存在点M,使M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差的绝对值为8,则称曲线C为“好曲线”.以下曲线是“好曲线”的是( ) A.x+y=5
??2??2
C.25+9=1
2
B.x2+y2=9 D.x2=16y
解析由双曲线定义可知:点M轨迹是以A,B为焦点的双曲线.则a=4,c=5,∴b2=c2-a2=9,∴M的轨迹方
??2??2
程为16?9=1.
直线x+y=5过点(5,0),故直线与M的轨迹有交点,是“好曲线”,A正确;
x2+y2=9是以(0,0)为圆心,3为半径的圆,与M的轨迹没有交点,不是“好曲线”,B错误;
??2??2
+9=1的右顶点为(5,0),故椭圆与25M的轨迹有交点,是“好曲线”,C正确;
把x2=16y代入双曲线方程,可得y2-9y+9=0,此时Δ>0,故抛物线与M的轨迹有交点,是“好曲线”,D正确. 答案ACD 三、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13.以(-1,2)为圆心,且与圆C:(x-3)2+(y+1)2=9外切的圆的标准方程是 . 解析设所求圆半径为r,则由题意√(-1-3)2+(2+1)2=3+r,r=2,
2020_2021学年新教材高中数学模块过关检测课后提升训练(含解析)新人教A版选择性必修第一册
