第二学期高二年级数学（理）科
第一次统测试题
（全卷共4页，供9-20班使用） 命题人：翟艺东 成绩________
一、选择题（满分共60分，12小题，每题5分） 1.已知i是虚数单位，则复数?2?i?的虚部为（ ） A．4i
B．-4i
C．-4
D．4
22.若复数z满足?1?i?z?1?2i，则z?（ ）
A．
6 2 B．
10 2 C．
3 2 D．
5 22.函数f?x??sin?2x?1?的导数是（ ） A．f??x??cos?2x?1? C．f??x??2cos?2x?1?
B．f??x??2xsin?2x?1? D．f??x??2xcos?2x?1?
4.若复数z?a2?2a?3??a?3?i为纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值为（ ） A．-3
B．-3或1
C．3或-1
2??
* D．1
5.用数学归纳法证明等式1?3?5?L??2n?1???n?1?则当n?k?1时应得到（ ） A．1?3?5L??2k?1??k
22第二步假设n?k时等式成立，?n?N?的过程中，
B．1?3?5L??2k?3???k?1? D．1?3?5L??2k?3???k?2?
22C．1?3?5L??2k?2???k?2?
6.若数列?an?为等差数列，则数列?bn?，其中bn?a1?a2?L?an也为等差数列，类比这一性质可知，若
n正项数列?cn?是等比数列，且?dn?也是等比数列，则dn的表达式为（ ） A．dn?c1?c2?L?cn
n
B．dn?c1?c2Lcn nnnnc?c?L?c12nC．dn?n n
D．dn?nc1?c2Lcn 7.定积分
?3x?x?e?dx的值为（ ） ?0??2?1 1
A．e?3 2 B．e?1 2
C．e
D．e?1 28.设a?r2，b?A．a?b?c
7?3，c?6?2，那么a，b，c的大小关系是（ ）
B．a?c?b
C．b?a?c
D．b?c?a
9.已知函数f?x?的导函数为f??x?，且满足f?x??2xf??1??lnx，则f??1??（ ） A．-1
3 B．-e C．1 D．e
10.已知函数f?x??x?12x?a，其中a?16，则f?x?零点的个数是（ ） A．0个或1个
xB．1个或2个 C．2个 D．3个
11.函数y?4cosx?e（e为自然对数的底数）的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
12.定义域为R的可导函数y?f?x?的导函数为f??x?，满足f??x??f?x??0，且f?0??1，则不等式
f?x?ex?1的解集为（ ）
B．?2,???
C．???,0?
D．???,2?
A．?0,???
二、填空题（满分共20分，4小题，每题5分） 13.已知f?x??elnx，则f??x??________.
x14.
?404??x?2?dx? ________.
215.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第10个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________.
16.若不等式2xlnx??x?ax?3对x??0,???恒成立，则实数a的取值范围是________.
2三、解答题（满分共70分，6小题）解答过程必须有必要的文字说明，在指定的区域内容题. 17.（本题满分10分）
2
已知函数f?x???x?3x?9x?2，
32（1）求函数y?f?x?的图象在点0,f?0?处的切线方程； （2）求f?x?的单调递减区间. 18.（本小题满分12分） 已知函数f?x????13x?bx2?cx?3在???,?1?和?3,???上为增函数，在??1,3?上为减函数. 3（1）求f?x?的解析式； （2）求f?x?在R上的极值. 19.（本小题满分12分）
已知函数f?x??x2?ax?aex（e为自然对数的底数）. （1）若a??1，求函数f?x?的单调区间；
（2）是否存在实数a，使函数f?x?在R上是单调增函数？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 20.（本小题满分12分）
某种商品的成本为5元/件，开始按8元/件销售，销售量为50件，为了获得最大利润，商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销售，经试销发现：销售价每上涨1元每天销售量就减少10件；而降价后，日销售量Q（件）与实际销售价x（元）满足关系：
???39?2x2?29x?107??5?x?7?? Q??198?6x?7?x?8???x?5（1）求总利润（利润=销售额-成本）y（元）与销售价x（件）的函数关系式； （2）试问：当实际销售价为我少元时，总利润最大. 21.（本小题满分12分）
已知f?x??x?lnx，（x??0,e），g?x??（1）求f?x?的单调性、极值； （2）求证：f?x??g?x??22.（小题满分12分）
?lnx，其中e是自然常数. e1. 2 3
已知函数f?x??lnx?2a，a?R. x（1）若函数f?x?在2,???上是增函数，求实数a的取值范围； （2）若函数f?x?在1,e上的最小值为3，求实数a的值.
??? 4
广东省2024学年度第二学期高二年级数学理科第一次统考
