高考数学一轮复习教案（含答案）：第10章 第1节 随机事件的概率

第十章 概率 第一节 随机事件的概率

[考纲传真] 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式．

1．事件的相关概念

2．频数、频率和概率

(1)频数、频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的nA比例fn(A)＝n为事件A出现的频率．

(2)概率：对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A的概率，记作P(A)．

3．事件的关系与运算 包含关系 相等关系 并事件定义 若事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) 若B?A，且A?B，那么称事件A与事件B相等 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，符号表示 B?A(或A?B) A＝B A∪B(或A＋B) (和事件) 则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) 第1页 共7页

交事件若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，(积事件) 则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) 互斥事件 对立事件 若A∩B为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B(或AB) A∩B＝? A∩B＝?且A∪B＝Ω 4.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1； (2)必然事件的概率P(A)＝1； (3)不可能事件的概率P(A)＝0；

(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； (5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)． [常用结论]

1．对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．

2．概率加法公式的推广

当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)事件发生的频率与概率是相同的． ( ) (2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值． ( ) (3)两个事件的和事件发生是指两个事件都得发生． ( ) (4)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件． [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√

2．(教材改编)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是( )

A．至多有一次中靶 C．只有一次中靶

B．两次都中靶 D．两次都不中靶

( )

D [“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．]

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3．将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是( ) A．必然事件 C．不可能事件

B．随机事件 D．无法确定

B [抛掷10次硬币正面向上的次数可能为0,1,2，…，10，都有可能发生，正面向上5次是随机事件．]

4．(教材改编)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5,15.5)，2；[15.5,19.5)，4；[19.5,23.5)，9；[23.5,27.5)，18；[27.5,31.5)，11；[31.5,35.5)，12；[35.5,39.5)，7；[39.5,43.5]，3.

根据样本的频率分布估计，数据落在[27.5,43.5]内的概率约是________． 1

[由条件可知，落在[27.5,43.5]内的数据有11＋12＋7＋3＝33(个)，故所2

331

求概率约是66＝2.]

5．(2020·济南模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为________．

0．35 [∵事件A＝{抽到一等品}，且P(A)＝0.65，∴事件“抽到的产品不是一等品”的概率为P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.]

随机事件之间的关系 1．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件37

“2张全是移动卡”的概率是10，那么概率是10的事件是( )

A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡 C．都不是移动卡

D．至少有一张移动卡

A [至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”，“2张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件．]

2．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，

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其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．

A与B，A与C，B与C，B与D B与D [设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A∩B＝?，B∩C＝?，A∩C＝?，B∩D＝?，故A与B，B与C，A与C，B与D为互斥事件．而B∩D＝?，B∪D＝I，故B与D互为对立事件．]

[规律方法] 判断互斥、对立事件的两种方法 ?1?定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.对立事件是互斥事件的充分不必要条件. ?2?集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥. ②事件A的对立事件结果组成的集合的补集. 随机事件的概率与频率

【例1】 (2020·全国卷Ⅱ)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

上年度出 险次数 保费 0 1 2 3 4 ≥5 所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：

出险 次数 0 1 2 3 4 ≥5 频数 60 50 30 30 20 10 (1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；

(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费

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的160%”，求P(B)的估计值；

(3)求续保人本年度平均保费的估计值．

[解] (1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内60＋50

出险次数小于2的频率为200＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.

(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一30＋30

年内出险次数大于1且小于4的频率为200＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.

(3)由所给数据得

保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.

因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a. [规律方法] 1.概率与频率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值． 2．随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率． 某保险公司利用简单随机抽样的方法，对投保的车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：

赔付金额(元) 车辆数(辆) 0 500 1 000 2 000 3 000 4 000 130 100 150 120 (1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率； (2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．

[解] (1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为

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