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1.
设点O是平面上正多边形A1A2…An的中心，证明:
?OA1+OA2+…+OAn＝0.
[证明]：因为
OA1＋OA3＝?OA2,
OA2＋OA4＝?OA3, ……
OAn?1+OA1＝?OAn, OAn＋OA2＝?OA1,
所以 2(OA1+OA2+…+OAn)
＝?(OA1+OA2+…+OAn),
?所以 (?－2)(OA1+OA2+…+OAn)＝0. 显然 ?≠2, 即 ?－2≠0.
?所以 OA1+OA2+…+OAn＝0.
17. OA,OB, OC是三个两两不共线的矢量，且OC＝?OA+?OB，试证A, B, C三点共
线的充要条件是?+?＝1. [证明]：“? ”因为 A，B，C共线，从而有
AC//CB,
且有m?－1, 使AC＝mCB,
OC－OA＝m (OB－OC),
1mOA＋OB. 1?m1?m但已知OC＝?OA＋?OB. 由OC对OA, OB分解的唯一性可得
1m?＝, ?＝
1?m1?m1m从而 ?+?＝+＝1.
1?m1?m“” 设?+?＝1. 则有OC＝?OA＋?OB＝?OA＋(1－?)OB
OC＝
=OB+?(OA－OB),
(1+m)OC＝OA＋mOB,
OC－OB＝?(OA－OB),
所以 BC＝?BA,
从而 BC//BA.故 A，B，C三点共线.
18. 四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点，且这点到顶点的距离是它到对面重心
距离的三倍. 用四面体的顶点坐标把交点坐标表示出来.
[证明]：设四面体A1A2A3A4,Ai对面重心为Gi, 欲证AiGi交于一点(i＝1, 2, 3, 4).
在AiGi上取一点Pi，使AiPi＝3PiGi, 从而OPi＝设Ai (xi, yi, zi)(i＝1, 2, 3, 4)，则
?x?x3?x4,G1?23?OAi?3OGi，
1?3z2?z3?z4??, 3?y2?y3?y4,3精品文档
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x?x?xG2??134,3??x?x2?x4,G3?13??x?x2?x3,G4?13?所以 P1(
y1?y3?y4,3y1?y2?y4,3y1?y2?y3,3z1?z3?z4?
?,
3?z1?z2?z4??, 3?z1?z2?z3??, 3?x1?3?x2?x3?x4y?y3?y4z?z3?z4y1?3?2z1?3?2333,,) 1?31?31?3?P1(
x1?x2?x3?x4y1?y2?y3?y4z1?z2?z3?z4,,).
444同理得P2?P3?P4?P1，所以AiGi交于一点P，且这点到顶点距离等于这点到对面重心距离的
三倍.
19. 用矢量法证明三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距.
20. 设径矢OA?r1, OB?r2, OC?r3, 证明 R＝(r1?r2)＋(r2?r3)＋(r3?r1)垂直于ABC
平面. [证明]:由于 AB?R=(r2?r1)?[(r1?r2)?(r2?r3)?(r3?r1)]
=(r2r1r2)?(r2r2r3)?(r2r3r1)?(r1r1r2)?(r1r2r3)?(r1r3r1) =(r1r2r3)?(r1r2r3)?0,
所以 AB?R.同理可证 AC?R.所以 R?平面ABC.
21. 已知：连接两点A(3,10,?5),B(0,12,z)的线段平行于平面7x?4y?z?1?0，求B里
的坐标z. 解： ? AB?{?3,2,5?z}而AB平行于7x?4y?z?1?0 由题3知：(?3)?7?2?4?(z?5)?0从而z?18.
22. 已知四面体的四个顶点为S(0,6,4),A(3,5,3),B(?2,11,?5),C(1,?1,4)，计算从顶点S向
底面ABC所引的高。 解：地面ABC的方程为：
2x?y?2z?5?0所以，高h??6?2?4?53?3。
?5x?8y?3z?9?0?2x?4y?z?1?0向三坐标面所引的三个射影平面。
23. 通过直线??5x?8y?3z?9?0解：由已知方程?
2x?4y?z?1?0?分别消去x，y，z得到：
36y?11z?23?0，9x?z?7?0，11x?4y?6?0
此即为三个射影平面的方程。
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x?3yz?1x?1y?2z????210101，试求它们的公垂线方程。 24. 给定两异面直线：与1,0,1???1,?2,?1?， 解：因为?2,1,0???公垂线方程为：
?x?3y?1?2??2?1??x?1y?2?10??2??1z?10?1z1?0?1?0
?x?2y?5z?8?0?x?2y?5z?8?0即?，亦即?。
2x?2y?2z?2?0x?y?z?1?0??25. 求过三条平行直线x?y?z,x?1?y?z?1,与x?1?y?1?z?2的圆柱面方程。 解：过原点且垂直于已知三直线的平面为x?y?z?0：它与已知直线的交点为
?0,0,0?,(?1,0,1),(1,?1,4)，这三点所定的在平面x?y?z?0上的圆的圆心为
333M0(?21113,?,)，圆的方程为： 1515152211213298??(x?)?(y?)?(z?)?15151575 ???x?y?z?0此即为欲求的圆柱面的准线。
1,1,1?的直线方程为： 又过准线上一点M1(x1,y1,z1)，且方向为??x?x1?t??y?y1?t?z?z?t1?将此式代入准线方程，并消去t得到：
??x1?x?t??y1?y?t ?z?z?t?15(x2?y2?z2?xy?yz?zx)?2x?11y?13z?0
此即为所求的圆柱面的方程。
???x0,y0,z0?，
26. 已知锥面的准线为?(u)??x(u),y(u),z(u)?，顶点A决定的径矢为0试证明锥面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：
??v?(u)?(1?v)?0与
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(整理)数学专业大学生竞赛几何训练题.
