[步步高]高三理科数学一轮总复习讲义
A．5 B．4 C．3 D．2
解析：选D.集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，当n＝0时，3n＋2＝2，当n＝1时，3n＋2＝5，当n＝2时，3n＋2＝8，当n＝3时，3n＋2＝11，当n＝4时，3n＋2＝14，∵B＝{6,8,10,12,14}，∴A∩B中元素的个数为2.
4．设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，定义A⊙B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A⊙B中元素的个数是( ) A．7 B．10 C．25 D．52
解析：选B.A∩B＝{2,3}，A∪B＝{1,2,3,4,5}，由列举法可知A⊙B＝{(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)}，共有10个元素，故选B.
－
5．已知函数f(x)＝2x－1，集合A为函数f(x)的定义域，集合B为函数f(x)的值域，则如图所示的阴影部分表示的集合为________．
解析：本题考查函数的定义域、值域以及集合的表示．
－
要使函数f(x)＝2x－1有意义，
－
则2x－1≥0，解得x≤0， 所以A＝(－∞，0]．
－
又函数f(x)＝2x－1的值域B＝[0，＋∞)．
所以阴影部分用集合表示为?A∪B(A∩B)＝(－∞，0)∪(0，＋∞)． 答案：(－∞，0)∪(0，＋∞)
6．已知集合A＝{x|1≤x＜5}，C＝{x|－a＜x≤a＋3}．若C∩A＝C，则a的取值范围是________． 解析：因为C∩A＝C，所以C?A.
3
①当C＝?时，满足C?A，此时－a≥a＋3，得a≤－；
2－a＜a＋3，??
②当C≠?时，要使C?A，则?－a≥1，
??a＋3＜5，3
解得－＜a≤－1.
2
答案：(－∞，－1]
第2课时 命题及其关系、充分条件与必要条件
1．命题
(1)命题的概念
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
(2)四种命题及相互关系
(3)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 2．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p?q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q?p p是q的充要条件 p?q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp 3.判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“x2＋2x－3＜0”是命题．(×)
6
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(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(×)
(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(√) (4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(√)
(5)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．(√) (6)q不是p的必要条件时，“pq”成立．(√)
(7)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题．(√)
(8)若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．(√)
(9)命题“若x2－1＝0，则x＝1或x＝－1”的否命题为：若x2－1≠0，则x≠1或x≠－1.(×) (10)“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的必要
不充分条
件．(√)
考点一 四种命题及其关系
命题点 1.命题的改写2.命题的真假判定
[例1] (1)命题“若a＞b则a－1＞b－1”的否命题是( ) A．若a＞b，则a－1≤b－1 B．若a＞b，则a－1＜b－1 C．若a≤b，则a－1≤b－1 D．若a＜b，则a－1＜b－1
解析：根据否命题的定义可知，命题“若a＞b，则a－1＞b－1”的否命题应为“若a≤b，则a－1≤b－1”． 答案：C (2)(2024·宁夏银川模拟)命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题是( ) A．若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0 B．若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0 C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0 D．若x≠0或y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2≠0
解析：将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定为x≠0或y≠0. 答案：D (3)(2024·山东菏泽模拟)有以下命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；
③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题； ④“若A∩B＝B，则A?B”的逆否命题． 其中正确的命题为( )
A．①② B．②③ C．④ D．①②③
解析：①“若x，y互为倒数，则xy＝1”是真命题；②“面积不相等的三角形一定不全等”是真命题；③若m≤1，Δ＝4－4m≥0，所以原命题为真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A∩B＝B，得B?A，所以原命题为假命题，故其逆否命题也是假命题．故选D. 答案：D
[方法引航] ?1?在根据给出的命题构造其逆命题、否命题、逆否命题时，首先要把原命题的条件和结论弄清楚，这样逆命题就是把原命题的条件和结论交换了的命题，否命题就是把原命题中否定了的条件作条件、否定了的结论作结论的命题，逆否命题就是把原命题中否定了的结论作条件、否定了的条件作结论的命题.
?2?当一个命题有大前提而需写出其他三种命题时，必须保留大前提不变.判定命题为真，必须进行推理证明；若说明为假，只需举出一个反例.互为逆否命题的两个命题是等价命题.
1．原命题是“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”，其逆否命题是________． 解析：“当c＞0时”为大前提，其逆否命题为： 当c＞0时，若ac≤bc，则a≤b.
答案：当c＞0时，若ac≤bc，则a≤b
2
2．下面是关于复数z＝的四个命题：
－1＋i
p1：|z|＝2， p2：z2＝2i，
p3：z的共轭复数为1＋i， p4：z的虚部为－1. 其中的真命题为( ) A．p2，p3 B．p1，p2
7
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C．p2，p4 解析：选C.z＝
D．p3，p4
2?－1－i?2
＝＝－1－i， －1＋i?－1＋i??－1－i?
所以|z|＝2，p1为假命题；z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，p2为真命题，z＝－1＋i，p3为假命题；p4为真命题．故选C. 考点二 充分条件与必要辄条件的判断
命题点
[例2] (1)“x＞1”是“ (x＋2)＜0”的( ) A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：∵x＞1?
(x＋2)＜0，
(x＋2)＜0?x＋2＞1?x＞－1，
1.定义法 2.等价命题法 3.集合法 ∴“x＞1”是“ (x＋2)＜0”的充分而不必要条件． 答案：B (2)(2024·天津调研)“x≠1且x≠2”是“x2－3x＋2≠0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析：x2－3x＋2＝0，即(x－2)(x－1)＝0， ∴x＝1或x＝2.
∴当x＝1或x＝2时，x2－3x＋2＝0，
∴“x2－3x＋2＝0”是“x＝1或x＝2”的充要条件，那么“x≠1且x≠2”是“x2－3x＋2≠0”的充要条件． 答案：C
(3)设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：P集合为(1,2)，q集合为(0，＋∞)，pq，故选A. 答案：A
[方法引航] ?1?定义法：根据p?q，q?p进行判断.
?2?集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断.
?3?等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题，常用的是逆否等价法.,①綈q是綈p的充分不必要条件?p是q的充分不必要条件；,②綈q是綈p的必要不充分条件?p是q的必要不充分条件；,③綈q是綈p的充要条件?p是q的充要条件.
1．设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的( ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.y＝log2x(x＞0)为增函数，当a＞b＞1时，log2a＞log2b＞0；反之，若log2a＞log2b＞0，结合对数函数的图象易知a＞b＞1成立，故“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的充要条件．
2．若p是q的必要条件，s是q的充分条件，那么下列推理一定正确的是( ) A．綈p?綈s C．綈p?綈s
B．p?s D．綈s?綈p
解析：选C.由已知得：q?p，s?q，则s?p，由于原命题与逆否命题等价，所以s?p等价于綈p?綈s，故选C. 3．“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.由ln(x＋1)＜0得0＜x＋1＜1，∴－1＜x＜0即(－1,0)(－∞，0)， ∴“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的必要不充分条件．
考点三 根据充分、必要条件求参数
命题点 求条件或结论中的参数 [例3] (1)(2024·江西南昌模拟)已知条件p：|x－4|≤6；条件q：(x－1)2－m2≤0(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是( ) A．[21，＋∞) B．[9，＋∞)
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C．[19，＋∞) D．(0，＋∞)
??1－m≤－2，
解析：条件p：－2≤x≤10，条件q：1－m≤x≤m＋1，又因为p是q的充分不必要条件，所以有?
?1＋m≥10.?
解得m≥9.
答案：B
(2)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________． 解析：由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10， ∴P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知S?P. 1－m≤1＋m，??
则?1－m≥－2，??1＋m≤10，
∴0≤m≤3.
所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]． 答案：[0,3]
[方法引航] 由充分条件、必要条件求参数.解决此类问题常将充分、必要条件问题转化为集合间的子集关系求解.但是，在求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的验证，不等式中的等号是否能够取得，决定着端点的取值.
1．本例(2)条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件． 解：若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S， ???1－m＝－2，?m＝3，∴?∴? ??1＋m＝10，m＝9.??
即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
2．本例(2)条件不变，若綈P是綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解：由例(2)知P＝{x|－2≤x≤10}， ∵綈P是綈S的必要不充分条件， ∴P?S且S?/P. ∴PS ???1＋m≥10?m≥9，∴?∴? ?1－m≤－2?m≥3.??∴m≥9.
[思想方法]
集合的关系与充分、必要条件“再牵手”
集合的运算常与充分、必要条件交汇，判断充分、必要条件时，可利用集合的包含关系．如果是根据充分、必要条件求参数问题，也可以转化为集合的包含关系求解． [典例] (2024·河南省实验中学模拟)设条件p：|x－2|＜3，条件q：0＜x＜a，其中a为正常数．若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是( )
A．(0,5] B．(0,5) C．[5，＋∞) D．(5，＋∞)
[解析] p：|x－2|<3，∴－3 设p＝(－1,5)，q＝(0，a)，∵p是q的必要不充分条件， ∴(0，a)(－1,5)，∴0 [高考真题体验] 1．(2024·高考山东卷)设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( ) A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0 B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0 C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0 D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0 解析：选D.命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”，故 9 [步步高]高三理科数学一轮总复习讲义 选D. 2．(2024·高考天津卷)设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的( ) A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.令x＝1，y＝－2，满足x＞y，但不满足x＞|y|；又x＞|y|≥y，∴x＞y成立，故“x＞y”是“x＞|y|”的必要而不充分条件． 3．(2024·高考四川卷)设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x＋y＞2，则p是q的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.当x＞1且y＞1时，x＋y＞2，即p?q所以充分性成立； 令x＝－1，y＝4，则x＋y＞2，但x＜1，即qp所以必要性不成立，所以p是q的充分不必要条件．故选A. 4．(2024·高考天津卷)设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0”的( ) A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 －n 解析：选C.a2n－1＋a2n＝a2n－1(1＋q)＝a1q22(1＋q)＜0?q＜－1?q＜0，故必要性成立；而q＜0?/ q＜－1，故充分性不成立．故选C. y≥x－1，?? 5．(2024·高考四川卷)设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足?y≥1－x， ??y≤1， 则p是q的( ) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.如图，命题p表示圆心为(1,1)，半径为2的圆及其内部，命题q表示的是图中的阴影区域，所以p故选A. q，q?p. 6．(2024·高考山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b.又a?α，b?β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件． 课时规范训练 A组 基础演练 1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( ) A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 解析：选B.依题意得，原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数． 2．与命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”等价的命题是( ) A．若a，b，c成等比数列，则b2≠ac B．若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac C．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列 D．若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列 解析：选D.因为原命题与其逆否命题是等价的，所以与命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”等价的命题是“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”． 3．若集合A＝{x|2＜x＜3}，B＝{x|(x＋2)(x－a)＜0}，则“a＝1”是“A∩B＝?”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.当a＝1时，B＝{x|－2＜x＜1}，满足A∩B＝?；反之，若A∩B＝?，只需a≤2即可，故“a＝1”是“A∩B＝?”的充分不必要条件． 4．下列命题中为真命题的是( ) 10
2024届【步步高】高考理科数学一轮总复习讲义
