[步步高]高三理科数学一轮总复习讲义
第1课时 集 合
1．元素与集合
(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．
(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b?A. (3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集及其符号表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 2.集合间的基本关系 表示 关系 文字语言 记法 集合间的子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 A?B或B?A 基本关系 真子集 集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A AB或BA 相等 集合A的每一个元素都是集合B的元素，集合B的每一A?B且B?A个元素也都是集合A的元素 ?A＝B 空集 空集是任何集合的子集 ??A 空集是任何非空集合的真子集 ?B且B≠? 3．集合的基本运算 (1)三种基本运算的概念及表示 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号 若全集为U，则集合表示 A∪B A∩B A的补集为?UA 图形表示 意义 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} ?，且 UA＝{x|x∈Ux?A} (2)三种运算的常见性质 ①A∪B＝A?B?A，A∩B＝A?A?B. ②A∩A＝A，A∩?＝?. ③A∪A＝A，A∪?＝A.
④A∩?UA＝?，A∪?UA＝U，?U(?UA)＝A.
4．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．(×) (2)若a在集合A中，则可用符号表示为a?A.(×) (3)若AB，则A?B且A≠B.(√) (4)N*NZ.(√)
(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(×)
(6)对于任意两个集合A，B，都有(A∩B)?(A∪B)成立．(√) (7)?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)，?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)．(√) (8)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(×) (9){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(√)
(10)若A∪B＝A∪C，则B＝C.(×)
考点一 集合的概念
命题点 1.集合元素的特征
1
[步步高]高三理科数学一轮总复习讲义 2.集合表示方法及意义
第一章 集合与常用逻辑用语大一轮复习 数学(理)[例1] (1)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1 B．3 C．5 D．9
解析：∵A＝{0,1,2}，∴B＝{x－y|x∈A，y∈A}＝{0，－1，－2,1,2}．故集合B中有5个元素． 答案：C
(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝( ) 99A. B. 28
9
C．0 D．0或
8
9
解析：当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝.
8
答案：D
[方法引航] ?1?研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件.当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么.
?2?对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性.
?1?
1．已知a∈R，若{－1,0,1}＝?a，a2，0?，则a＝________.
?
?
1
解析：由题意≠0，a≠0，a2≠－1，所以只有a2＝1.
a1
当a＝1时，＝1，不满足互异性，∴a＝－1.
a
答案：－1 2．(2024·福建厦门模拟)已知P＝{x|2＜x＜k，x∈N}，若集合P中恰有3个元素，则k的取值范围为________． 解析：因为P中恰有3个元素，所以P＝{3,4,5}，故k的取值范围为5＜k≤6. 答案：(5,6]
考点二 集合间的关系及应用
1.判断集合的关系 命题点 2.应用集合的关系 [例2] (1)设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则( ) A．P?Q B．Q?P C．?RP?Q D．Q??RP
2
解析：因为P＝{y|y＝－x＋1，x∈R}＝{y|y≤1}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y＞0}，所以?RP＝{y|y＞1}，所以?RP?Q，选C.
答案：C
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，则实数m的取值范围为________． 解析：∵B?A，
∴①若B＝?，则2m－1＜m＋1，此时m＜2. 2m－1≥m＋1，??
②若B≠?，则?m＋1≥－2，
??2m－1≤5.
解得2≤m≤3.
由①、②可得，符合题意的实数m的取值范围为(－∞，3]． 答案：(－∞，3]
[方法引航] 1.集合间基本关系的两种判定方法 (1)化简集合，从表达式中寻找两集合的关系
(2)用列举法(或图示法等)表示各个集合，从元素(或图形)中寻找关系． 2．根据两集合的关系求参数的方法
已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解． (1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性； (2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到．
1．在本例(1)中，集合P变为不变，如何选答案． 解析：P＝{y|y≥1}，Q＝{y|y＞0}，∴P?Q，选A.
P＝{y|y＝x2＋1}，Q
2
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2．①在本例(2)中，若A?B，如何求m的取值范围？ 解：若A?B， ???m＋1≤－2，?m≤－3，则?即? ?2m－1≥5，?m≥3.??所以m的取值范围为?.
②若将本例(2)中的集合A，B分别更换为A＝{1,2}， B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，如何求m的取值范围？ 解：(ⅰ)若B＝?，则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2； (ⅱ)若1∈B，则12＋m＋1＝0，
解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意； (ⅲ)若2∈B，则22＋2m＋1＝0，
1?5?
解得m＝－，此时B＝?2，2?，不合题意．
2??
综上所述，实数m的取值范围为[－2,2)．
考点三 集合的运算 1.数集交、并、补的运算 命题点 2.与函数、不等式综合的交、并、补的运算 3.利用集合运算求参数 1??[例3] (1)(2024·山东烟台诊断)若集合A＝?－1，0，2，1?，集合B＝{y|y＝2x，x∈A}，则集合A∩B＝( )
??
1?1???
A.?－1，0，2，1? B.?0，2，1? ?????1?C.?2，1? D．{0,1} ??
?1??1?
解析：B＝{y|y＝2x，x∈A}＝?2，1，2，2?，所以A∩B＝?2，1?，故选C.
????
答案：C (2)(2024·安徽合肥模拟)已知全集U＝R，A＝{x|x＞1}，B＝{x|x2－2x＞0}，则?U(A∪B)＝( ) A．{x|x≤2} B．{x|x≥1} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0≤x≤2}
解析：由x2－2x＞0得x＞2或x＜0，即B＝{x|x＜0，或x＞2}，∴A∪B＝{x|x＜0，或x＞1}，∴?U(A∪B)＝{x|0≤x≤1}． 答案：C
(3)已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是( ) A．( －∞，－1] B．[1，＋∞) C．[－1,1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞]
2
解析：由P∪M＝P，得M?P.又∵P＝{x|x≤1}＝{x|－1≤x≤1}，∴－1≤a≤1，故选C. 答案：C
[方法引航] (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．(3)对于混合运算，有括号者，先运算括号里面的．
1．已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∪B＝( ) A．(－1,3) B．(－1,0) C．(0,2) D．(2,3)
解析：选A.将集合A与B在数轴上画出(如图)．由图可知A∪B＝(－1,3)，故选A.
Z，则图中阴影部分表示的集合是( )
2．已知集合A＝{－1,0,4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}，全集为
A．{4} B．{4，－1} C．{4,5} D．{－1,0}
2
解析：B＝{x|x－2x－3≤0，x∈N}＝{x|－1≤x≤3，x∈N}＝{0,1,2,3}，阴影部分为A∩(?ZB)＝{4，－1}． 答案：B 3．(2024·宁夏银川一中模拟)已知集合A＝{a，b,2}，B＝{2，b2,2a}，且A∩B＝A∪B，则a＝________
3
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2????a＝2a，?a＝b，?a＝0，
??解析：因为A∩B＝A∪B，所以A＝B，则或解得?或2?b＝b，??b＝1.??b＝2a.?
?
?1?b＝2.
1a＝，4
1
所以a的值为0或.
4
1
答案：0或
4
[易错警示]
空集的呐喊——勿忘我
空集是任何集合的子集，即对于任一集合A，有??A.空集是任何非空集合的真子集．当遇到“A?B”时，要注意是否需要讨论A＝?或A≠?两种情况，即“?优先原则”．
[典例] 若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S?P，则由a的可取值组成的集合为________． [正解] P＝{－3,2}．当a＝0时，S＝?，满足S?P；
1
当a≠0时，方程ax＋1＝0的解集为x＝－，
a
11
为满足S?P可使－＝－3或－＝2，
aa
11即a＝或a＝－. 32
11??
故所求集合为?0，3，－2?.
??11??
[答案] ?0，3，－2?
??
[易误] 在解答本题时，易出现两个典型错误．一是易忽略对空集的讨论，如S＝?时，a＝0；二是易忽略对字母的讨论．如1
－可以为－3或2. a
[警示] (1)从集合的关系看，S?P，则S＝?或S≠?，勿遗忘S＝?的情况． (2)对含字母的问题，注意分类讨论．
[高考真题体验]
1．(2024·高考全国甲卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2＜9}，则A∩B＝( ) A．{－2，－1,0,1,2,3} B．{－2，－1,0,1,2} C．{1,2,3} D．{1,2}
解析：选D.∵B＝{x|x2＜9}＝{x|－3＜x＜3}．又A＝{1,2,3}，∴A∩B＝{1,2}． 2．(2024·高考全国乙卷)设集合A＝{1,3,5,7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝( ) A．{1,3} B．{3,5} C．{5,7} D．{1,7} 解析：选B.A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}， ∴A∩B＝{3,5}． 3．(2024·高考全国甲卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}，则A∪B＝( ) A．{1} B．{1,2} C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}
解析：选C.B＝{x|－1＜x＜2，x∈Z}＝{0,1}．又A＝{1,2,3}，∴A∪B＝{0,1,2,3}． 4．(2024·高考全国丙卷)设集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，则?AB＝( ) A．{4,8} B．{0,2,6} C．{0,2,6,10} D．{0,2,4,6,8,10} 解析：选C.∵A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，∴?AB＝{0,2,6,10}． 5．(2024·高考浙江卷)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(?RQ)＝( ) A．[2,3] B．(－2,3] C．[1,2)
D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
解析：选B.根据补集和并集的概念进行运算，也可以借助数轴求解． ∵Q＝{x∈R|x2≥4}，
∴?RQ＝{x∈R|x2＜4}＝{x|－2＜x＜2}． ∵P＝{x∈R|1≤x≤3}，
∴P∪(?RQ)＝{x|－2＜x≤3}＝(－2,3]． 6．(2024·高考山东卷)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1＜0}，则A∪B＝( ) A．(－1,1) B．(0,1)
4
[步步高]高三理科数学一轮总复习讲义
C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞) 解析：选C.先化简集合A，B，再利用并集的定义求解．
由已知得A＝{y|y＞0}，B＝{x|－1＜x＜1}，则A∪B＝{x|x＞－1}．故选C.
课时规范训练 A组 基础演练
1．已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}，则A∩B＝( ) A．{－1,0} B．{0,1} C．{－1,0,1} D．{0,1,2}
解析：选A.由于B＝{x|－2＜x＜1}，所以A∩B＝{－1,0}．故选A. 2．设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝( ) A．[0,1] B．(0,1] C．[0,1) D．(－∞，1]
2
解析：选A.∵M＝{x|x＝x}＝{0,1}，N＝{x|lg x≤0}＝{x|0＜x≤1}，∴M∪N＝{x|0≤x≤1}，故选A. 3．已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝( ) A．[－2，－1] B．[－1,2) C．[－1,1] D．[1,2)
解析：选A.由不等式x2－2x－3≥0解得x≥3或x≤－1，因此集合A＝{x|x≤－1或x≥3}，又集合B＝{x|－2≤x＜2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤－1}，故选A.
4．设集合P＝{x|x＞1}，Q＝{x|x2－x＞0}，则下列结论正确的是( ) A．P?Q B．Q?P C．P＝Q D．P∪Q＝R
解析：选A.由集合Q＝{x|x2－x＞0}，知Q＝{x|x＜0或x＞1}，所以选A. 5．设集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝( ) A．{1} B．{2} C．{0,1} D．{1,2}
解析：选D.由已知得N＝{x|1≤x≤2}，∵M＝{0,1,2}，∴M∩N＝{1,2}，故选D. 6．集合U＝{0,1,2,3,4}，A＝{1,2}，B＝{x∈Z|x2－5x＋4＜0}，则?U(A∪B)＝( ) A．{0,1,3,4} B．{1,2,3} C．{0,4} D．{0} 解析：选C.因为集合B＝{x∈Z|x2－5x＋4＜0}＝{2,3}，所以A∪B＝{1,2,3}，又全集U＝{0,1,2,3,4}，所以?U(A∪B)＝{0,4}．所以选C.
7．已知集合M＝{x|－1＜x＜2}，N＝{x|x＜a}，若M?N，则实数a的取值范围是( ) A．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，－1]
解析：选B.依题意，由M?N得a≥2，即所求的实数a的取值范围是[2，＋∞)，选B. 8．已知全集A＝{x∈N|x2＋2x－3≤0}，B＝{y|y?A}，则集合B中元素的个数为( ) A．2 B．3 C．4 D．5
解析：选C.依题意得，A＝{x∈N|(x＋3)(x－1)≤0}＝{x∈N|－3≤x≤1}＝{0,1}，共有22＝4个子集，因此集合B中元素的个数为4，选C.
9．已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝________.
解析：A、B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可． 答案：{(0,1)，(－1,2)}
10．已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B?A，则a＝________.
解析：由a2－a＋1＝3，得a＝－1或a＝2，经检验符合．由a2－a＋1＝a，得a＝1，由于集合中不能有相同元素，所以舍去．故a＝－1或2. 答案：－1或2
B组 能力突破
1．已知全集U＝R，集合M＝{x|(x－1)(x＋3)＜0}， N＝{x||x|≤1}，则阴影部分表示的集合是( ) A．[－1,1) B．(－3,1] C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞) D．(－3，－1)
解析：选D.由题意可知，M＝{x|－3＜x＜1}，N＝{x|－1≤x≤1}，∴阴影部分表示的集合为M∩(?UN)＝{x|－3＜x＜－1}． 2．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{3,4,5}，N＝{1,2,5}，则集合{1,2}可以表示( ) A．M∩N B．(?UM)∩N C．M∩(?UN) D．(?UM)∩(?UN) 解析：选B.M∩N＝{5}，A错误；?UM＝{1,2}，(?UM)∩N＝{1,2}，B正确；?UN＝{3,4}，M∩(?UN)＝{3,4}，C错误；(?UM)∩(?UN)＝?，D错误．故选B.
3．已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为( )
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2024届【步步高】高考理科数学一轮总复习讲义
