x?2??e0?m?e∴?x0， x0e?xe?1?0?∴m?e??2???1?ln(m?e?2)???1，
令m?e?2?t，则t(1?lnt)?1，
记g(t)?t(1?lnt)，g?(t)?1?(1?lnt)??lnt 于是，g(t)在(0,1)上单调递增，在(1,??)上单调递减， ∴g(t)max?g(1)?1，于是t?m?e?2?1，m?1?e?2.
x（2）f?(x)?e?m，
①当m?0时，f?(x)?0恒成立，f(x)在R上单调递增，且f(0)?1?m?0，
11f()?em?1?0 m∴函数f(x)在R上有且仅有一个零点； ②当m?0时，f(x)?e在R上没有零点；
③当m?0时，令f?(x)?0，则x?lnm，即函数f(x)的增区间是(lnm,??)， 同理，减区间是(??,lnm)， ∴f(x)min?m(1?lnm).
ⅰ）若0?m?e，则f(x)min?m(1?lnm)?0，f(x)在R上没有零点； ⅱ）若m?e，则f(x)?e?ex有且仅有一个零点；
xxⅲ）若m?e，则f(x)min?m(1?lnm)?0.
f(2lnm)?m2?2mlnm?m(m?2lnm)，
令h(m)?m?2lnm，则h?(m)?1?2， m∴当m?e时，h(m)单调递增，h(m)?h(e)?0.
∴f(2lnm)?m?2mlnm?m(m?2lnm)?m(e?2)?0 又∵f(0)?1?0，
∴f(x)在R上恰有两个零点，
2综上所述，当0?m?e时，函数f(x)没有零点；当m?0或m?e时，函数f(x)恰有一个零点；当m?e时，f(x)恰有两个零点. 点评：
本题考查导数的几何意义、切线方程、零点等知识，求解切线有关问题时，一定要明确切点坐标.以导数为工具，研究函数的图象特征及性质，从而得到函数的零点个数，此时如果用到零点存在定理，必需说明在区间内单调且找到两个端点值的函数值相乘小于0，才算完整的解法.
21．如下图，设抛物线方程为x?2py?p?0?，M为直线y??2p上任意一点，过M2引抛物线的切线，切点分别为A，B．
（Ⅰ）设线段AB的中点为N； （ⅰ）求证：MN平行于y轴；
?2p?时，AB?410，求此时抛物线的方程； （ⅱ）已知当M点的坐标为?2，（Ⅱ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x?2py?p?0?2上，其中，点C满足OC?OA?OB（O为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点
M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：（Ⅰ）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）x?2y或x?4y；（Ⅱ）仅存在一点M?0,?2p?22适合题意.
（Ⅰ）（ⅰ）设出A,B,N,M的坐标，利用导数求得切线MA,MB的方程，结合N是线段AB的中点进行化简，得到M,N两点的横坐标相等，由此证得MN平行于y轴. （ⅱ）利用AB?410列方程，解方程求得p，进而求得抛物线方程.
（Ⅱ）设出D点坐标，由C点坐标求得线段CD中点的坐标，由直线AB的方程和抛物线的方程，求得D点的坐标，由此进行分类讨论求得M点的坐标. 解：
2?x12???x2Ax,Bx,（Ⅰ）（ⅰ）证明：由题意设?1?，?2?，x1?x2，N?x3,y3?，?2p??2p?M?x0,?2p?．
x2x1xx2?k?y?k?由x?2py得y?，则，所以MA，MB．
ppp2p2因此直线MA的方程为y?2p?x1?x?x0?， p直线MB的方程为y?2p?x2?x?x0?． p2x12x1x2x2?2p?x?x?2p?所以?10?，①?x2?x0?．② 2pp2pp由①、②得
x?xx1?x2?x1?x2?x0，因此x0?12，即2x0?x1?x2?2x3，也即
22x0?x3.所以MN平行于y轴．
（ⅱ）解：由（ⅰ）知，当x0?2时，将其代入①、②并整理得：
2x12?4x1?4p2?0，x2?4x2?4p2?0，所以x1，x2是方程x2?4x?4p2?0的两
根，
2x2x12?2因此x1?x2?4，x1x2??4p，又2p2px1?x2x0，
??kAB?x2?x12pp所以kAB?2． p2由弦长公式的AB?1?k??x1?x2?2?4x1x2?1?42?16?16p． 2p又AB?410，所以p?1或p?2， 因此所求抛物线方程为x?2y或x?4y．
（Ⅱ）解：设D?x4,y4?，由题意得C?x1?x2,y1?y2?， 则CD的中点坐标为Q?22?x1?x2?x4y1?y2?y4,22???， ?设直线AB的方程为y?y1?x0?x?x1?， p?x1?x2y1?y2?,?也在直线AB上， 22??由点Q在直线AB上，并注意到点?代入得y4?x0x4． p2若D?x4,y4?在抛物线上，则x4?2py4?2x0x4，
因此x4?0或x4?2x0．
2??2x0D2x,D0,0即??或?0?．
p??（1）当x0?0时，则x1?x2?2x0?0，此时，点M?0,?2p?适合题意．
?x?x?（2）当x0?0，对于D?0,0?，此时C?2x0,?，k2pCD??又kAB21222x12?x22x12?x2， 2p??2x04px022x0x0x12?x2x12?x2?，AB?CD，所以kAB?kCD?????1， 2pp4px04p222即x1?x2??4p，矛盾．
22????2x0x12?x2D2x,C2x,对于?0?，因为?0?，此时直线CD平行于y轴，
p?2p???又kAB?x0?0， p所以直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾， 所以x0?0时，不存在符合题意得M点．
综上所述，仅存在一点M?0,?2p?适合题意． 点评：
本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于难题.
22．心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名，在极坐标系Ox中，方程
??a(1?sin?)（a?0）表示的曲线C1就是一条心形线，如图，以极轴Ox所在的直
线为x轴，极点O为坐标原点的直角坐标系xOy中.已知曲线C2的参数方程为
?x?1?3t?（t为参数）. ?3?t?y?3?
（1）求曲线C2的极坐标方程；
（2）若曲线C1与C2相交于A、O、B三点，求线段AB的长. 答案：（1）???6（??R）；（2）2a.
（1）化简得到直线方程为y?3x，再利用极坐标公式计算得到答案. 3??，计算得到答案 . ?（2）联立方程计算得到A?解：
?a???3a7?,?，B?,?26??26?x?1?3t?3（1）由?消t得，x?3y?0即y?x， 33?t?y?3?C2是过原点且倾斜角为的直线，∴C2的极坐标方程为???6?6（??R）.
a???????????a??2（2）由?得，?∴A?,?， 6?26????????a(1?sin?)??6?3a?7??????????3a7?2,由?得?∴B?67?26???????a(1?sin?)??6?点评：
本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和应用能力. 23．设x,y,z?R，且x?y?z?1.
（1）求(x?1)?(y?1)?(z?1)的最小值；
222a3a?|AB|???2a. ，∴?22?
2020届甘肃省天水市第一中学高三第二次模拟考试数学(理)试题解析
