高中数学解题方法系列：数列中求通项的10种方法
一、公式法
n例1 已知数列{an}满足an?1?2an?3?2，a1?2，求数列{an}的通项公式。
an?1an3an?1an3an，则，故数列????{}是
2n?12n22n?12n22nan3a32以1为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，??1?1?(n?1)n12222231所以数列{an}的通项公式为an?(n?)2n。
22n解：an?1?2an?3?2两边除以2n?1，得
二、累加法 an?an?1?f(n)
，a1?1，求数列{an}的通项公式。 例2 已知数列{an}满足an?1?an?2n?1解：由an?1?an?2n?1得an?1?an?2n?1则
an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?L?(a3?a2)?(a2?a1)?a1?[2(n?1)?1]?[2(n?2)?1]?L?(2?2?1)?(2?1?1)?1?2[(n?1)?(n?2)?L?2?1]?(n?1)?1 (n?1)n?2?(n?1)?12?(n?1)(n?1)?1?n22所以数列{an}的通项公式为an?n。
n例3已知数列{an}满足an?1?3an?2?3?1，a1?3，求数列{an}的通项公式。
n解：an?1?3an?2?3?1两边除以3n?1，得
an?1an21， ???3n?13n33n?1则
an?1an21?n??n?1 n?13333三、累乘法
an?f(n) an?1n例4 已知数列{an}满足an?1?2(n?1)5?an，a1?3，求数列{an}的通项公式。
n解：因为an?1?2(n?1)5?an，a1?3，所以an?0，则
an?1?2(n?1)5n，故anan?anan?1aa??L?3?2?a1an?1an?2a2a1?[2(n?1?1)5n?1][2(n?2?1)5n?2]?L?[2(2?1)?52][2(1?1)?51]?3 ?2n?1[n(n?1)?L?3?2]?5(n?1)?(n?2)?L?2?1?3?3?2n?1n(n?1)2?5?n!n?1所以数列{an}的通项公式为an?3?2?5n(n?1)2?n!.
，an?a1?2a2?3a3?L?(n?1)an?1(n?2)，求{an}的通例5已知数列{an}满足a1?1项公式。
解：因为an?a1?2a2?3a3?L?(n?1)an?1(n?2) 所以an?1?a1?2a2?3a3?L?(n?1)an?1?nan 用②式－①式得an?1?an?nan. 则an?1?(n?1)an(n?2)
②
①
故
an?1?n?1(n?2) an四、待定系数法（重点）
n例6 已知数列{an}满足an?1?2an?3?5，a1?6，求数列?an?的通项公式。
解：设an?1?x?5n?1?2(an?x?5n)
④
nnn?1n将an?1?2an?3?5代入④式，得2an?3?5?x?5?2an?2x?5，等式两边消去2an，
nn?1nn得3?5?x?5?2x?5，两边除以5，得3?5x?2x,则x??1,代入④式得
an?1?5n?1?2(an?5n)
n例7 已知数列{an}满足an?1?3an?5?2?4，a1?1，求数列{an}的通项公式。
解：设an?1?x?2n?1?y?3(an?x?2n?y)
⑥
n将an?1?3an?5?2?4代入⑥式，得
3an?5?2n?4?x?2n?1?y?3(an?x?2n?y)
整理得(5?2x)?2?4?y?3x?2?3y。
nn令??5?2x?3x?x?5n?1n，则?，代入⑥式得an?1?5?2?2?3(an?5?2?2)
?4?y?3y?y?2⑦
2例8 已知数列{an}满足an?1?2an?3n?4n?5，a1?1，求数列{an}的通项公式。
22解：设an?1?x(n?1)?y(n?1)?z?2(an?xn?yn?z) ⑧
2将an?1?2an?3n?4n?5代入⑧式，得
2an?3n2?4n?5?x(n?1)2?y(n?1)?z?2(an?xn2?yn?z)，则 2an?(3?x)n2?(2x?y?4)n?(x?y?z?5)?2an?2xn2?2yn?2z
等式两边消去2an，得(3?x)n?(2x?y?4)n?(x?y?z?5)?2xn?2yn?2z，
22?3?x?2x?x?3??解方程组?2x?y?4?2y，则?y?10，代入⑧式，得
?x?y?z?5?2z?z?18??an?1?3(n?1)2?10(n?1)?18?2(an?3n2?10n?18) ⑨
五、对数变换法
n5例9 已知数列{an}满足an?1?2?3?an，a1?7，求数列{an}的通项公式。
n5n5解：因为an?1?2?3?an，a1?7，所以an?0，an?1?0。在an?1?2?3?an式两边取
常用对数得lgan?1?5lgan?nlg3?lg2
⑩
设lgan?1?x(n?1)?y?5(lgan?xn?y) 六、迭代法
11 ○
3(n?1)2例10 已知数列{an}满足an?1?an，a1?5，求数列{an}的通项公式。
n3(n?1)23n?2解：因为an?1?an，所以an?an?1nn?13(n?1)?2?[an]3n?2?? ?2n?2n?1七、数学归纳法 例11 已知an?1?an?呢？）
解：由an?1?an?8(n?1)8，a?，求数列{an}的通项公式。（其他方法1(2n?1)2(2n?3)298(n?1)8及，得 a?1(2n?1)2(2n?3)298(1?1)88?224???22(2?1?1)(2?1?3)99?25258(2?1)248?348a3?a2???? 22(2?2?1)(2?2?3)2525?49498(3?1)488?480a4?a3????(2?3?1)2(2?3?3)24949?8181a2?a1?(2n?1)2?1由此可猜测an?，往下用数学归纳法证明这个结论。
(2n?1)2(2?1?1)2?18?，所以等式成立。 （1）当n?1时，a1?2(2?1?1)9(2k?1)2?1（2）假设当n?k时等式成立，即ak?，则当n?k?1时，
(2k?1)28(k?1)
(2k?1)2(2k?3)2ak?1?ak?(2k?1)2?18(k?1)??(2k?1)2(2k?1)2(2k?3)2[(2k?1)2?1](2k?3)2?8(k?1)?(2k?1)2(2k?3)2(2k?1)2(2k?3)2?(2k?3)2?8(k?1)?(2k?1)2(2k?3)2?(2k?1)(2k?3)?(2k?1)(2k?1)2(2k?3)2222
(2k?3)2?1?(2k?3)2[2(k?1)?1]2?1?[2(k?1)?1]2由此可知，当n?k?1时等式也成立。
根据（1），（2）可知，等式对任何n?N*都成立。 八、换元法
例12 已知数列{an}满足an?1?解：令bn?1?24an，则an?故an?1?1求数列{an}的通项公式。 (1?4an?1?24an)，a1?1，
1612(bn?1) 24121(bn?1?1)，代入an?1?(1?4an?1?24an)得 241612112(bn?1?1)?[1?4(bn?1)?bn] 24162422即4bn?1?(bn?3)
因为bn?1?24an?0，故bn?1?1?24an?1?0 则2bn?1?bn?3，即bn?1?九、不动点法
例13 已知数列{an}满足an?1?131bn?，可化为bn?1?3?(bn?3)， 22221an?24，a1?4，求数列{an}的通项公式。
4an?1解：令x?21x?2421x?242，得4x?20x?24?0，则x1?2，x2?3是函数f(x)?的
4x?14x?1
高中数学解题方法系列：数列中求通项的10种方法
