结构优化设计
structural optimal desig n (optimum structural desig n)
参考书： 1. 孙靖民：机械优化设计，机械工业出版社， 2003
2. 孙德敏：工程最优化方法和应用，中国科大出版社，
1997
3. 施光燕：最优化方法，高教出版社，
绪论
1999
1. 内容
基本概念：
结构(structure)广义一系统组成；
窄义一承受载荷、维持系统几何形状不变的部分， 构是用来支承有效载荷的。
设计(design)完成一项新产品、新工程前的方案构思(如大小、尺寸、形状、材料、工艺过 程等)。数据一数字化--如梁杆板壳及其组合。结
CAE
优化(optimization)从几种方案中选出最好的一优选；从设计空间中的无数种方案中用计算 机选出最好的一优化。
2. 工程中的优化问题
1) 2) 3) 4)
桥梁
等强度梁，铁塔 飞机、航天器
其他领域(控制、化工)
钱令希；MATLAB —优化工具箱；遗传算法
3. 发展史：牛顿，计算机，
MATLAB —面向工程的高级语言 Optimization Toolbox 主要功能： 1)
线性规划
minCT x —— x*
Ax b
1 _T 一 —T —
lp c, A, b
—* _ —
2)
二次规划
min x Hx c x —— x
Ax b 2
qp(H,C,A,b)
概述(入门实例)
一、 举例
1. 人字架优化
1
已知：2B=152cm, T=0.25cm, E=2.1 x 10Mpa,
5
p =7.8 x 103kg/m3,
cr =420Mpa,
2F=3X 105N
求：min [m(D,h)]满足强度和稳定要求 解：变量
D,h
载荷
Fi
F/cos F
1
B h h
1
2 . 2 2
---单杆内力
应力
Fi
F B2 h\hTD
临界应力
Fe A
2
E(T2 D2) ~~h2)
1
强度条件
F B2 h ◎
2
hTD
1
稳定条件
F B2 h2 勺
hTD
2
E(T2 D2)
1
目标函数:
min m(D, h)
2 AL 2 TD(B h )
2
2
2 2 ~2
1
解析法：mi nm （D,h）
2 AL 2 TD(B h )
D,h关系
2 2
不考虑稳定条件，由强度条件建立 极限情况 （D,h） y
D
F(B2 h2)1/2 y
Th
1
m(h) 2 AL
TD(B2
h2)2
B2 h2 dm(h) dh
6.43cm
76cm
校核稳定条件
(D ,h )
e
(D ,h ），没问题。
图解法p6
2
5.-K
1 X斗h M决.用山_1_ ___ 丄_一_L
0
2 -f 6 t 10
D ' ent
12
2. 汽车减振
设计变量 x 目标函数
ki,k2,k3,G,C2,C3 mim
)
3.管理
p94
甲 乙
9公斤， 3工时， 4千瓦， 4 10 5
360公斤/天，300工时/天，200千瓦/天
600元 1200
max 600x1 1200 x2
9x1 4x2 4xi 5x2
4. 求解非线性方程组
例方程组：
360 200
3% 10x2 300
f1(x) 0
皿)0
n 2 i 1
min F (x) fi (x)
.数学模型(mathematical model )
3
1)设计变量(design variables)
-
x X1,X2 xn
T
4
2)目标函数(objective function)
min f X
3) 约束 (con stra ins) s.t. hi x
i 1,2, ,m gj(X)
(j 1,2,
,l )
4) 例：标准模型 管理例
_
X Xj , x2
T
min f X
(600xi
1200X2)
s.t. (subject to)
9X1 4X2 360
0
3X1 10x2 300 0
4x1 5x 2 200 0
作业:
数学基础 矢量代数，数学规划
(一) 方向导数和梯度 1.方向导数(direct ion derivative ) 偏导数
f X10 X1,X20
X10 , X20
X0
X
lim0
1 0
X
1
1
方向导数f
f X10 , X20
d f X10
X1,X20 X2 X0
lim
0
d
lim
f X10 X1, X20 X2 f X10,X20 d 0
20
lim
f X10,XX2 f X10,X20 X2
0
X2
X0
cos
X0 cos 2
X
X2 1
cos 1
X1 X2 X0
cos 2
f XT
0 d
5
X2 X1
定义：梯度 (gradient) g(x0) f x0
T
单位向量d COS 1.COS 2 结论：方向导数等于梯度与该方向的单位向量的点积。
推广：n维向量
,- f f
g Xo f Xo 1
Xi ' X2
T cos n d cos 1 cos 2 T
-g Xo d
X
2
f Xn
d
2.梯度的性质
梯度是向量；
函数沿梯度方向变化最大； 等值线（面）
f T -
g 1 cos g ?d T
g x0 d d
沿等值线（面）的切线方向函数变化率最小（ 化率最大。
=0）；沿等值线（面）的法线函数变
(二) Taylor 级数一Taylor series
1. 一元函数
2. 二元函数
f (X0)
f(X。)X - f
f Xi
2 i
1 f(x)2! Xi
Xo X
2
f Xi,X2
z -
f Xo
X
X2
X
2
f Xo
Xo
Xi Xo g
X-! X2 Xi X2
Xo
X2
1
X22
T —
o
X
2Xi X2 X
2 2
X H Xo
H Xo
Xi
2
Xi X2
3. 多元函数
6
f x f x0
g Xo
T
fX, , fX , fXn 2
T -
_ _
g
X。
x0
xx
11
f1
xX
2
f1
xX
f2
n
H Xo
XX
21
fX?X2
xX
n
--Hess矩阵
X
XnX,
0
（三）极（小）值条件
1. 一元函数
x° X0
0 0
驻点，极小，极大
2.二元函数
fXi 0..fX2
f
0
f X1X1
1 X1X1
0
；
f XX
1
21
- XX
X1X2
:
22
3. 多元函数
梯度为零；
Hess矩阵正定的（各阶主子式的行列式大于零）
（四）凸规戈 U — convex program ming
1.全局最优和局部最优（极值）
2.凸集一convex set
几何解释：图 任选 X1 A,
--global optimum and local optimum
X2 A, 0
X2
A
1,
有线段
X1 1
贝U A为凸集。 凸集的性质：
A为凸集，a为实数，则a A也是凸集;
A、B为凸集，贝U A B也为凸集； A、B为凸集，则A,B的交集也是凸集。 3.凸函数
函数f （X）在定义域（a,b）内是凸函数的必要条件是：域内任选
X1,.x2，有
f f(Xi) (1 )f(X2)
f(Xi) (1
)f(X2)
7
完整版机械优化设计习题参考答案孙靖民第四版机械优化设计
