第7讲 极坐标与参数方程专题复习(学生版)
【基础知识】
/??x??x,(??0)一．平面直角坐标系中的伸缩变换：设点P(x,y)在变换?：?/的作用下对应到
??y??y,(??0)点P/(x/,y/)，则称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 二.极坐标知识点
1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O，从O引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O点叫做极点，射线Ox叫做极轴.
①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐
标系的四要素，缺一不可. 2.极坐标与直角坐标的互化： 三.参数方程知识点
?2?x2?y2,y??sin?,x??cos?, ytan??(x?0)x?x?f(t)，该方程叫曲
?y?f(t)1.参数方程的概念：在平面直角坐标系中，若曲线C上的点P(x,y)满足?线C的参数方程，变量t是参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 2．曲线的参数方程
?x?a?rcos?,（1）圆(x?a)?(y?b)?r的参数方程可表示为?(?为参数).
y?b?rsin?.?222?x?acos?,x2y2（2）椭圆2?2?1(a?b?0)的参数方程可表示为?(?为参数).
ab?y?bsin?.?x?2pt2,(t为参数). （3）抛物线y?2px的参数方程可表示为?y?2pt.?2（4）经过点MO(xo,yo)，倾斜角为?的直线l的参数方程可表示为?注意：t的几何意义
?x?xo?tcos?,（t为参数）.
y?y?tsin?.o?3．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致. 规律方法指导：
1.把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法. 常见的消参方法有：
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代入消法 ；加减消参；平方和（差）消参法；乘法消参法；比值消参法；利用恒等式消参法；混合消参法等. 2.把曲线的普通方程
化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前
后方程的等价性， 注意方程中的参数的变化范围。 【基本题型】
题型一. 极坐标与直角坐标的互化。互化原理（三角函数定义）、数形结合。
例1． 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为??x??3?t（t为参数），以O为极点，x轴的非负半
?y?1?t轴为极轴建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，曲线C的极坐标方程为??2cos??0. （1）把曲线C的极坐标方程化为普通方程； （2）求直线l与曲线C的交点的极坐标（??0,0???2?）.
变式训练1．在极坐标系中，设圆C经过点??点，求圆C的极坐标方程．
3??????3,?，圆心是直线?sin?????与极轴的交6??3?2?
题型二.曲线（圆与椭圆）的参数方程。
（1）普通方程互化和最值问题。“1”的代换（cos2??sin2??1）、三角解决。
?x?2cos?,例2．已知曲线C的参数方程是?(?为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立
y?sin??极坐标系，A,B的极坐标分别为A(2,?),B(2,4?). 3（Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程；（Ⅱ）设M为曲线C上的点，求点M到直线AB距离的最大值.
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??x??变式训练2．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是??y???2t2(t是参数） ，以原点2t?422???O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为??2cos????.
4?? （1）判断直线l与曲线C的位置关系； （2）设M为曲线C上任意一点，求x?y的取值范围.
（2）公共点问题。联立求解判别式，直线与圆d与r。
??x?a?3t,例3．在直角坐标系中，直线l的参数方程为?（t为参数）．在极坐标系（以原点O为极点，
??y?t以x轴非负半轴为极轴，且与直角坐标系取相同的长度单位）中，圆C的方程为??4cos?． （Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与圆C相切，求实数a的值．
???变式训练3．在极坐标系中，直线l的极坐标方程为2?sin?????m?m?R?，以极点为原
4????x?3cos?点极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为?(?为参数，
y?sin???且???0,??).
（1）写出直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）若直线l与曲线C有两个公共点，求m的取值范围.
题型三。直线参数方程（t的几何意义）。定点到动点的距离。
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定标图号联、韦达三定理。x1?x2???bc、x1x2?、x1?x2? aaa?2t?x?1??2例4．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?，（t为参数），在极坐标系（与直角?y?5?2t??2坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的极坐标方程为（1）求圆C的直角坐标方程； （2）设圆C与直线l交于点A,B，若点P的坐标为(1,5)，??25sin?.求PA?PB.
变式训练4．在直角坐标系xoy中，过点P(1,?2)的直线l的斜率为1，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为?sin2??2cos?,直线l和曲线C的交点为A,B． （1）求直线l的参数方程；（2）求|PA||PB|
题型四.伸缩变换
1?x'?x??222例5．曲线9x?4y?36经过伸缩变换?后的曲线方程是 .
?y'?1y?3?变式训练1．将直线x?2y?2变成直线2x'?y'?4的伸缩变换是 .
1?x'?x??3变式训练2.曲线C经过伸缩变换?后的方程是4x'2?9y'2?36，则C的方程是 . ?y'?1y?2? - 4 -
【基础训练】
1.点P的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为________．
2.已知圆C：(x?1)2?(y?3)2?1，则圆心C的极坐标为_____(??0,0???2?)
??3..把点A(?5,),B(3,?)的极坐标化为直角坐标分别为 ,
644..曲线的极坐标方程ρ=４sinθ化 成直角坐标方程为( )
A.x2+(y+2)2=4 B.x2+(y-2)2=4 C.(x-2)2+y2=4 D.(x+2)2+y2=4
5..在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为??25sin?,圆C的直角坐标方程
6..若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 7.在极坐标系中，圆＝2上的点到直线
＝3的距离的最小值是＿＿＿＿
8.在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________． ?π?9.在极坐标系中，直线ρsin?θ＋4?＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．
??10.经过点M(1，5)且倾斜角为
?的直线，以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程是( ) 3111????3x?1?tx?1?tx?1?ty?1?t????222????2A．? B.? C.? D.?
?y?5?3t?y?5?3t?y?5?3t?x?5?1t????2222????11.已知直线l经过点P(1,1),倾斜角???6，写出直线l的参数方程 ;
12已知曲线C的极坐标方程是??4sin?．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正
?2x?t??2(t为参数），点P是曲线C上半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是??y??4?2t??2的动点，点Q是直线l上的动点，求|PQ|的最小值． 13.在直角坐标系xOy中，已知曲线为参数）相交于两个点
.
，则线段
：
, (为参数）与曲线
的长为 .
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：,（
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