1.设0?a?b，证明不等式 a2．设函数f(x)?x2?n?1bn?an??bn?1n(b?a)(n?2,3,L)。
?20f(x)dx，求f(x)在区间[0,2]上的最大值与最小值。
1???xsin,x?03. 设f(x)??， （?为实数） x?x?0?0, 试问?在什么范围时, （1）f(x)在点x?0连续； （2）f(x)在点x?0可导。 4．若函数f(x)?
?x0(x?t)f(t)dt?ex，求f(x)。
2006年浙江省普通高校“专升本”联考
《高等数学（二）》试卷（A）参考答案及评分标准
一、填空题
?sin4x?e?3ax?1,x?0?1. 若 f(x)?? 在x?0连续，则 x?ax?0? a? 1 . ?x?1?t22. 曲线?在t?2处的切线方程为 y?3x?7. 3y?t?3. 设函数y?(2x?1)2sinx，则其导数为 y??(2x?1)sinx[cosxln(2x?1)?2sinx]. 2x?14.
??2(1?xcosx)dx＝ 4 .
5. 设y?cos(sinx)，则dy? ?cosxsin(sinx)dx. 6. 曲线y?lnx与直线x?1，x?3及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周，所得旋转体
体积为 ?(3ln3?2).
31
2x7. 微分方程 y???4y??5y?0的通解为 y?e(C1cosx?C2sinx).
8. 若级数
?n?n?1?13?1收敛，则?的取值范围是 ??2
3
二、选择题
1、B 2、A 3、B 4、C 5、D
三、计算题
2.
?计算极限 limx?0x0x0tantdtx2.
?解： limx?0tantdtx2＝limtanx （5分）
x?02x ＝
1 （6分） 22．计算函数 y?x21?x的导数 y?. 1?x解1： 两边取对数，得 lny?2lnx? 两边求导数
11ln(1?x)?ln(1?x) （1分） 22y?211??? （4分） yx2(1?x)2(1?x)1??2? 2??x1?x? y??y? ＝x21?x?21? （6分） ??2?1?x?x1?x?lnx21?x1?x解2： 由于y?e?e12lnx?[ln(1?x)?ln(1?x)]2，所以
y??e12lnx?[ln(1?x)?ln(1?x)]21???21?1???x2?1?x1?x?? （4分）
????32
＝x21?x?21???? （6分）
1?x?x1?x2?y3 计算由隐函数 e?xlny确定的函数 y?f(x)的微分dy. 解： 方程两边关于x求导数，把 y看成x的函数. y?e?lny?yxy? （3分） y解得 y??ylny （4分）
yey?xylnydx （6分） yye?x所以函数y?f(x)的微分 dy??5. 判别正项级数
?n?1nln(1?1)的敛散性. n2解1： 由于ln(1??1n111a?nln(1?)??)?，所以n3 （3分） 2222nnnnn2已知级数
?n?11n32(p??3?1)收敛 （5分） 2由比较判别法知级数
?n?1nln(1?1)收敛. （6分） 2n11)ln(1?)n2?limn2＝1 （4分）
n??113n22n解2： 取bn?1n?32，liman?limn??bn??nnln(1? 因为级数
?1n?32收敛 （5分）
n?1 所以原级数
?n?1nln(1?1)收敛。 （6分） n25. 计算不定积分
?dx
x(1?x)解1：
?dxd(x)＝2? （4分） 2x(1?x)1?(x)33
＝2arctan解2： 设 t?
x?C （6分）
x，则x?t2，dx?2tdt，于是
?dx2tdt＝? （4分） 2t(1?t)x(1?x)dt?1?t2
=2arctant?C （5分）
=2 =2arctan?x?C （6分）
n2n6. 求幂级数
?3xn?0的收敛半径与收敛区间.
un?13n?1x2(n?1)2解： 当 x?0时，lim （2分 ） ?lim?3xn2nn??un??3xn1 所以当 3x?1，即|x|? 时，幂级数
32?3xnn?0?2n收敛；当 3x?1，即|x|?21时，3幂级数
?3nx2n发散，所以幂级数的收敛半径R?n?0?1 （3分） 31由于 x??时，级数
3?3xnn?0?2n成为
n?0?1 发散。 （5分）
?因此幂级数收敛区间为 (?11,) （6分） 3311. 计算定积分
??0xsin2xdx
2解： 由于公式 sinx??21(1?cos2x)，所以 21? ?xsinxdx＝?x(1?cos2x)dx （2分）
0201?1?1? ＝?(x?xcos2x)dx??xdx??xcos2xdx
202020x2?1? ＝?xdsin2x （ 3分）
404?0 ＝
?24?xsin2x?1???sin2xdx （5分） 040434
＝
?24?18cos2x?0
2 ＝
?4 （6分）
计算微分方程 dyx(1?y212. )dx?y(1?x2)满足初始条件 y(0)?1的特解. 解： 分离变量得
ydy1?y2?xdx1?x2 （2分）
两边积分
?ydy1?y2??xdx1?x2
于是有1d(1?y2)1d(1?x22?1?y2?2?)1?x2 即
12ln(1?y2)?12ln(1?x2)?12C （4分） 或 ln(1?y2)?ln(1?x2)?C
将初始条件y(0)?1代入得 C?ln2 （5分） 所求特解是 y2?2x2?1 （6分） 13. 计算函数 y?sin(lnx)的二阶导数 y??.
解： y??cos(lnx)x （3分） y????sin(lnx)?cos(lnx)sin(lnx)?cos(lnx)x2??x2 （6分） 14. 将函数 y?lnx展成(x?1)的幂级数并指出收敛区间. 解： 因为 y?lnx?ln[1?(x?1)] （1分）
根据幂级数展开式 ln(1?x)?x?x22?x3n3?L?(?1)n?1xn?L，?1?x?1于是
lnx?(x?1)?(x?1)2(n2?x?1)33?L?(?1)n?1(x?1)n?L （5分） 收敛区间是 x?(0,2] （6分）
35
2分） （
浙江省专升本历年真题卷
