高中数学选修2-3学案
1.2.1排列（2）
学习目标 1熟练掌握排列数公式；
2. 能运用排列数公式解决一些简单的应用问题.
学习过程 一、课前准备
复习1：．什么叫排列？排列的定义包括两个方面分别是和；两个排列相同的条件是相同，也相同
复习2：排列数公式：
?mAn＝（m,n?N,m?n）
全排列数：An＝＝.
复习3 从5个不同元素中任取2个元素的排列数是，全部取出的排列数是 二、新课导学 ※学习探究：
探究任务一：排列数公式的应用
问题1(1)从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
新知：排列数公式只能用在从n个不同元素中取出m个元素的的排列数，对元素可能相同的情况不能使用.
探究任务二：解决排列问题的基本方法
问题2：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
新知：解排列问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法．当问题的反面简单明了时，可通过求差采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”；“分离”问题可
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n高中数学选修2-3学案 能用“插空法”等. ※典型例题
例1.3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数． (1)选5名同学排成一行；
(2)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端； (3)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；
(4)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端； (5)全体站成一排，男、女各站在一起； (6)全体站成一排，男生必须排在一起； (7)全体站成一排，男生不能排在一起； (8)全体站成一排，男、女生各不相邻； (9)全体站成一排，甲、乙中间必须有2人； (10)全体站成一排，甲必须在乙的右边；
(11)全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变； (12)排成前后两排，前排3人，后排4人．
小结：对比较复杂的排列问题，应该仔细分析，选择正确的方法. 例2 用0,1,2,3,4,5这六个数字
(1)可以组成多少个数字不重复的三位数？ (2)可以组成多少个数字允许重复的三位数？ (3)可以组成多少个数字不重复的三位奇数？
(4)可以组成多少个数字不重复的小于1 000的自然数？ (5)可以组成多少个大于3 000，小于5 421的不重复的四位数？
三、总结提升
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高中数学选修2-3学案 ※学习小结
1. 正确选择是分类还是分步的方法，分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整. 2..正确分清是否为排列问题满足两个条件：从不同元素中取出元素，然后排顺序.
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1．把6位同学排成前后两排，每排3人，则不同排法共有________种(用数字作答)． 2．显示屏上的七个小孔排成一排，每个小孔可以显示红、黄、蓝三种颜色，或不显示．若每次由其中三个小孔显示一组红、黄、蓝三色信号，但相邻的两个小孔不同时显示，则该显示屏能够显示的不同信号数为________．
3．从1、2、3、4，…，10十个数中任取两个数，分别做对数的底数与真数，可得到________个不同的对数值．
4.分别求出符合下列要求的不同排法的种数．
(1)6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人； (2)6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾； (3)6人排成一排，甲、乙不相邻．
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高中数学选修2-3学案
——★ 参 考 答 案 ★——
问题1:(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是：A34×3＝60，所以，共有60种不同5＝5×的送法．
(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是：5×5×5＝125，所以，共有125种不同的送法． 问题2：因为第一个数字不能是0,所以先从1-9种选一个数字当百位,再从剩下的9个数字中选一个当十位,再从剩下的数字中选一个当个位.故为9ｘ9ｘ8=648个.
例1.[[解析]](1)无限制条件的排列问题，只要从7名同学中任选5名排列，即可得共有
5N＝A7＝7×6×5×4×3＝2520(种)．
11A66＝2160(种)． (2)(直接分步法)先考虑甲有A3种方案，再考虑其余六人全排，故N＝A3(3)(直接分步法)先安排甲、乙有A22种方案，再安排其余5人全排，故N＝A22·A55＝240(种)． (4)法一(直接分类法)按甲是否在最右端分两类； 第一类：甲在最右端有N1＝A66 (种)，
11第二类：甲不在最右端时，甲有A5个位置可选，而乙也有A5个位置，而其余全排A55， 1111A5A55，故N＝N1＋N2＝A66＋A5A5A55＝3 720(种)． ∴N2＝A5法二(间接法)
无限制条件的排列数共有A77，而甲或乙在左端(右端)的排法有A66，且甲在左端且乙在右端的排法有A55，故N＝A77－2A66＋A55＝3 720(种)． 法三(直接分步法)按最左端优先安排分步
11A55种， 对于左端除甲外有A6种排法，余下六个位置全排有A66，但减去乙在最右端的排法A511A66－A5A55＝3 720(种)． 故N＝A6(5)相邻问题(捆绑法)
男生必须站在一起，是男生的全排列，有A33种排法，女生必须站在一起，是女生的全排列，有A44种排法，全体男生、女生各视为一个元素，有A22种排法，由分步乘法计数原理知，共A22＝288(种)． 有A33·A44·
(6)(捆绑法)即把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排，故N＝A33·A55＝720(种)．
(7)即不相邻问题(插空法)：先排女生共A44种排法，男生在4个女生隔成的五个空中安排有A53种排法，故N＝A44·A53＝1 440(种)．
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A44＝144(种)． (8)对比(7)让女生插空：N＝A33·
A44＝(9)(捆绑法)任取2人与甲、乙组成一个整体，与余下3个元素全排，故N＝(A52?A22)·
960(种)．
7A7(10)甲与乙之间的左右关系各占一半，故N＝2＝2520(种)．
A27A71(11)甲、乙、丙自左向右顺序保持不变，即为所有甲、乙、丙排列的3，∴N＝2＝840(种)．
A2A3(12)直接分步完成共有A73?A44＝5 040(种)． 例2. 解 (1)分三步：
①先选百位数字．由于0不能作百位数字，因此有5种选法； ②十位数字有5种选法； ③个位数字有4种选法．
由分步乘法计数原理知所求三位数共有5×5×4＝100(个)．
(2)分三步：①百位数字有5种选法；②十位数字有6种选法；③个位数字有6种选法． 故所求三位数共有5×6×6＝180(个)．
(3)分三步：①先选个位数字，有3种选法；②再选百位数字，有4种选法；③选十位数字也有4种选法，所以所求三位奇数共有3×4×4＝48(个)．
(4)分三类：①一位数共有6个；②两位数共有5×5＝25(个)；③三位数共有5×5×4＝100(个)．因此，比1 000小的自然数共有6＋25＋100＝131(个)．
(5)分四类：①千位数字为3,4之一时，共有2×5×4×3＝120(个)；②千位数字为5，百位数字为0,1,2,3之一时，共有4×4×3＝48(个)；③千位数字为5，百位数字为4，十位数字为0，1之一时，共有2×3＝6(个)；④还有5 420也是满足条件的1个．故所求四位数共120＋48＋6＋1＝175(个)． 当堂检测
1.[[解析]] 相当于6个人进行全排列，故有A65×4×3×2×1＝720种排法． 6＝6×[[答案]] 720
2.[[解析]] 3个显示小孔不相邻，即在4个不显示的小孔的5个空当中插入3个显示的小孔，又因3个小孔显示的颜色不相同，故有A35＝60种不同的信号数． [[答案]] 60
3.[[解析]] 从10个数中取出两个数的所有排列数为：A29＝90. 10＝10×
当1为底数时，不合题意的共有9个，共1为真数时，对数值都是零，应去掉8个，又因log23与log49同，log32与log94同，log24与log39同，log42与log93同． ∴共有不同对数值90－9－8－4＝69.
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高中数学选修2-3优质分点突破式学案3：1.2.1 排列(2)
