[考研类试卷]考研数学二（一元函数的泰勒公式及其应用、常微分方
程）模拟试卷1
一、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 1 求
的带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式．
2 求e-x2带皮亚诺余项的麦克劳林公式．
3 求arctanx带皮亚诺余项的5阶麦克劳林公式．
4 求极限
5 确定常数a和b的值，使f(x)=x-(a+bex2)sinx当x→0时是x的5阶无穷小量．
6 设f(x)在x=0处n(n≥2)阶可导且f(n)(0)．
7 设0＜x＜
=e4，求f(0)，f'(0)，…，
8 设f(x)在[0，1]二阶可导，｜f(0)｜≤a，｜f(1)｜≤a，｜f''(x)｜≤b，a，b为非负数，求证：
9 设f(x)在[a，b]三次可微，证明：f(b)=f(a)+
∈(a，b)，使得
∈(0，1)，有 ｜f'(c)｜≤2a+b.
(b-a)2f'''(ξ)．
10 在x=0处展开下列函数至括号内的指定阶数： (Ⅰ)f(x)=tanx(x3)； (Ⅱ)f(x)=sin(sinx)(x3)．
答案见麦多课文库
11 求下列函数f(x)在x=0处带拉格朗日余项的n阶泰勒公式：(Ⅰ)f(x)=
(Ⅱ)f(x)=exsinx．
12 用泰勒公式求下列极限：
13 用泰勒公式确定下列无穷小量当x→0时关于x的无穷小阶数：(Ⅰ)
14 设f(x)在(0，+∞)三次可导，且当
∈(0，+∞)时 ｜f(x)｜≤M0，｜f'''(x)｜≤M3，
其中M0，M3为非负常数，求证F''(X)在(0，+∞)上有界．
15 设函数f(x)在[0，1]二阶可导，且f(0)=f'(0)=f'(1)=0，f(1)=1．求证：存在ξ∈(0，1)，使｜f''(ξ)｜≥4．
16 设f(x)在(x0-δ，x0+δ)有n阶连续导数，且f(k)(0)=0，k=2，3，…，n-1；f(n)(x0)≠0．当0＜｜h｜＜δ时，f(x0+h)=f(x0)=hf'(x0+θh)，(0＜θ＜1)．求证：
17 求下列函数的带皮亚诺余项至括号内所示阶数的麦克劳林公式：(Ⅰ)f(x)=excosx(x3)；(Ⅱ)f(x)=
(x3)；(Ⅲ)f(x)=
，其中a＜0 (x2)．
(Ⅱ)∫0x(et-1-t)2dt．
18 求下列函数的带皮亚诺余项的麦克劳林公式： (Ⅰ)f(x)=sin3x； (Ⅱ)f(x)=xln(1-x2)．
19 确定下列无穷小量当x→0时关于x的阶数：(Ⅰ)f(x)=ex-1-x-xsinx；(Ⅱ)f(x)=
cosx-1．
答案见麦多课文库
20 求下列极限：
21 确定常数a和b的值，使得
22 设f(x)=x2sinx，求f(n)(0)
23 设f(x)在x=0处二阶可导，又I=
=1，求f(0)，f'(0)，f''(0)．
24 设f(x)在x=a处n(n≥2)阶可导，且当x→a时f(x)是x-a的n阶无穷小，求证：f(x)的导函数f'(x)当→a时是x-a的a-1阶无穷小．
25 设f(x)在x=a处四阶可导，且f'(a)=f''(a)=f'''(a)=0，但f(4)(a)≠0，求证：当f(4)(a)＞0(＜0)时x=a是f(x)的极小(大)值点．
26 设f(x)，g(x)在x=x0某邻域有二阶连续导数，曲线y=f(x)和y=g(x)有相同的凹凸性．求证：曲线y=f(x)和y=g(x)在点(x0，y0)处相交、相切且有相同曲率的充要条件是：f(x)-g(x)=o((x-x0)2)(x→x0)．
答案见麦多课文库
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