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北京市朝阳区2018-2019学年度第一学期期末质量检测
高三年级数学试卷答案（文史类） 2019.1
一、选择题（40分） 题号 答案 1 D 2 B 3 A 4 C 5 C 6 C 7 B 8 B 二、填空题（30分） 题号 答案 9 10 2 126 11 10 12 13 14 能 8 2 8+43 (1,3]
三、解答题（80分） 15. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为an?1?an?1(n?N*)，
所以数列{an}是公差为1的等差数列.
又因为S3?12，则a1?3，
所以，an=a1?(n?1)d?n?2(n?N*). ……………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn=1111=??,则 anan+1(n?2)(n?3)n?2n?3Tn=b1?b2+b3+b+n
11111111?????????344556n?2n?3 11??3n?3n?(n?N*).3n?9……………13分
16. （本小题满分13分）
???解：（Ⅰ）由题意可知，f(x)的定义域为?x|x??k?,k?Z?.
2??----
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f(x)?(2cos2x?1)tanx?cosx2?cosxtanx?cosx
?sinx?cosx????2sin?x??4??所以f(x)的最小正周期为2?. …………………7分
????2??（Ⅱ）解法一：由f(?)=1知，2sin????=1，则sin????=
442???? 解得?=2k?或?=+2k?，k?Z 又因为??(??,?)，且?? 所以?=0.
解法二：由f(?)=1知，sin??cos?=1，则sin2?=0 解得?=?2??k?,k?Z 2k?，k?Z. 2??k?,k?Z. 2又因为??(??,?)，且?? 所以?=0. …………………13分 17. （本小题满分13分） 解：
（Ⅰ）B市一共有5个销售点，价格分别为：
2500，2500，2500，2450，2460
按照价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500
B市5个销售点小麦价格的中位数为2500. …………………3分
（Ⅱ）记事件“甲的费用比乙高”为A
B市5个销售点按照价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500
C市一共有4个销售点，价格分别为： 2580，2470，2540，2400
按照价格从低到高排列为：2400，2470，2540，2580 甲乙两个购买小麦分别花费的可能费用有如下组合：
（2450，2400），（2460，2400），（2500，2400），（2500，2400），（2500，2400），
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（2450，2470），（2460，2470），（2500，2470），（2500，2470），（2500，2470）， （2450，2540），（2460，2540），（2500，2540），（2500，2540），（2500，2540）， （2450，2580），（2460，2580），（2500，2580），（2500，2580），（2500，2580），
一共有20组.
其中满足甲的费用高于乙的有如下组合：
（2450，2400），（2460，2400），（2500，2400），（2500，2400），（2500，2400）， （2500，2470），（2500，2470），（2500，2470）一共有8组.
所以，甲的费用比乙高的概率为： P(A)?82?. ………………10分 205（Ⅲ）三个城市按照价格差异性从大到小排列为：C，A，B. ………………13分 18. （本小题满分14分）
（Ⅰ）因为BC1?C1C，又平面AC1， 11CA?平面BCC1B且平面AC11CA平面BCC1B1?C1C，
所以BC1?平面ACC1A1. 又因为AC?平面AC11CA， 1所以BC1?AC1. …………………4分 （Ⅱ）取AC11中点G，连FG,连GC.
在△A1B1C1中，因为F,G分别是A 1B1,AC11中点，
FPB1BC1A1AG1FG=B1C1. 所以FG//BC，且112在平行四边形BCC1B1中，因为E是BC的中点， 所以EC//BC11，且EC=EC1B1C1. 2所以EC//FG，且EC=FG.
所以四边形FECG是平行四边形. 所以FE//GC.
又因为FE?平面AC11CA，GC?平面AC11CA，所以EF//平面AC11CA.
…………………9分
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（Ⅲ）在线段AB上存在点P，使得BC1?平面EFP.
取AB的中点P，连PE，连PF.
因为BC1?平面ACC1A1，AC?平面ACC1A1,CG?平面ACC1A1, 所以BC1?AC,BC1?CG.
在△ABC中，因为P,E分别是AB,BC中点，所以PE//AC. 又由（Ⅱ）知FE//CG， 所以BC1?PE，BC1?EF. 由PEEF?E得BC1?平面EFP.
故当点P是线段AB的中点时，BC1?平面EFP.此时，
AP1?. AB2
…………………14分 19. （本小题满分14分）
?y?x?1?解：（Ⅰ）由题意可得直线l1的方程为y?x?1.与椭圆方程联立,由?x2 2??y?1?2可求B(?41,?). ……………4分 33（Ⅱ）当l2与x轴垂直时，C,D两点与E,G两点重合，由椭圆的对称性，EF. 1?FG1 当l2不与x轴垂直时，
设C?x1,y1?，D?x2,y2?，l2的方程为y?k(x?1)（k?1）.
?y?k(x?1)?2222y2k?1x?4kx?2k?2?0. 由?x2消去，整理得??2??y?1?2?4k22k2?2 则x1+x2?，x1x2?.
2k2?12k2?1由已知，x2?0，
则直线AD的方程为y?1?y2?1x，令x??1，得点E的纵坐标x2----
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yE??x2?1?(1?k). x2?y2?1.把y2?k?x2?1?代入得yE?x2x2y1?1413(x?4),令x??1，由已知，x1??，则直线BC的方程为y??得点G 33x?4313的纵坐标yG??x1?1?(k?1). y1?x1?1.把y1?k?x1?1?代入得yG?43x1?43(x1?)3x23x1?4
yE?yG??x2?1?(1?k)??x1?1?(k?1)(1?k)???x2?1?(3x1?4)?x2?x1?1???x2?(3x1?4)
? ?(1?k)?2x1x2?3(x1?x2)?4?x2?(3x1?4)
?4k22k2?2 把x1+x2?，x1x2?代入到2x1x2?3(x1?x2)?4中，
2k2?12k2?12k2?2?4k2?3?(2)?4?0. 2x1x2?3(x1?x2)?4=2?22k?12k?1即yE?yG?0，即EF. .…………14分 1?FG1
20. （本小题满分13分）
x解：（Ⅰ）当m?0时：f?(x)?(x?1)e，令f?(x)?0解得x??1，
又因为当x????,?1?，f?(x)?0，函数f(x)为减函数；
当x???1,???，f?(x)?0，函数f(x)为增函数.
所以，f(x)的极小值为f(?1)??1. ……………3分 ex（Ⅱ）f?(x)?(x?1)(e?m). 当m?0时，由f?(x)?0，得x??1或x?lnm.
11x，则f?(x)?(x?1)(e?)?0.故f(x)在???,???上单调递增；
ee1（ⅱ）若m?，则lnm??1.故当f?(x)?0时，x??1或x?lnm；
e(ⅰ)若m?----
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当f?(x)?0时，?1?x?lnm.
所以f(x)在???,?1?，?lnm,???单调递增，在??1,lnm?单调递减. (ⅲ)若0?m?1，则lnm??1.故当f?(x)?0时，x?lnm或x??1； e 当f?(x)?0时，lnm?x??1. 所以f(x)在???,lnm?，??1,???单调递增，在?lnm,?1?单调递减. …………………8分
（Ⅲ）（1）当m?0时，f(x)?xex，令f(x)?0，得x?0.
因为当x?0时，f(x)?0，当x?0时，f(x)?0， 所以此时f(x)在区间???,1?上有且只有一个零点. （2）当m?0时：
11时，由（Ⅱ）可知f(x)在???,???上单调递增，且f(?1)???0，
ee2f(1)?e??0，此时f(x)在区间???,1?上有且只有一个零点.
e1 （ⅱ）当m?时，由（Ⅱ）的单调性结合f(?1)?0，又f(lnm)?f(?1)?0，
e （ⅰ）当m? 只需讨论f(1)?e?2m的符号：
1e?m?时，f(1)?0，f(x)在区间???，1?上有且只有一个零点； e2e当m?时，f(1)?0，函数f(x)在区间???，1?上无零点.
21 (ⅲ)当0?m?时，由（Ⅱ）的单调性结合f(?1)?0，f(1)?e?2m?0，
emmf(lnm)??ln2m??0，此时f(x)在区间???,1?上有且只有一个零点.
22e 综上所述，0?m?. …………………13分
2当
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