的同面投影上。过k作bc平行线交sc于f，交sb于g，由f求出f′（f′在s′c′上），过f′作f′g′∥b′c′，由k求出k′（k′在f′g′上），再由k、k′求出k″（图3-48d）。 3) 判点K投影的可见性，SBC棱面的V面投影可见，k′可见；SBC棱面的W面投影不可见，k″不可见。
〔例3-18〕已知如图3-49a，完成三棱锥表面折线I II III IV的其余投影。
图3-49三棱锥表面取线作图
分析：分析图3-49a可知，折线I II III IV位于三棱锥的三个棱面上，是一个三折线。III段位于SAB棱面上、II III段位于SBC棱面上、III IV 段位于SCA棱面上。要完成该折线的其余投影，关键是求点I、II、III、IV的其余投影。 作图：
1)点 I、II、III分别位于SA、SB、SC三棱线上，因此由1′、2′、3′求出1″、2″、3″，再由1′、2′、3′和1″、2″、3″求1、2、3（图3-49b）。
2)点 IV位于SCA棱面上，SCA棱面是侧垂面，W面投影具有积聚性，因此由4′求出4″，再由4′和4″求4（图3-49c）。
3) 将点I、II、III、IV的同面投影相连，即完成所求。注意：由于II III段位于SBC棱面上，该棱面W面投影不可见，因此折线II III的W面投影2″3″应画成细虚线（图3-49c）。
三、平面与平面体相交
平面与平面体相交（可看作平面体被平面切割），在平面体表面产生的交线称为平面体的截交线，这个平面称为截平面，由截交线围成的平面图形称为截断面（图3-50）。
图3-50 平面体截交线
1.平面体截交线的性质
分析图3–50可知，平面体截交线具有如下性质：
共有性：平面体截交线是截平面和平面体表面的共有线，它既在截平面上，又在平面体表面上，为二者所共有。
封闭性：由于平面体的表面及截平面都为平面，平面与平面的交线是直线。因此，平面体的截交线是一封闭的平面折线，故截断面为一平面多边形。这个多边形的各条边是截平面与平面体各棱面的交线，各个顶点是截平面与平面体各棱线的交点（图3-50）。
2.平面体截交线投影的求法
根据平面体截交线的性质可知，求平面体截交线的投影，实质就是求截平面与平面体棱线交点的投影。或者，是求截平面与平面体棱面交线的投影。下面通过例题来理解平面体截交线投影的求法。
〔例3-19〕完成图3-51a所示切割三棱锥的H面投影和W面投影。
图3-51 完成切割三棱锥的投影
分析：
三棱锥的上部被一个正垂面P切割。正垂面P与三个棱面都相交，交线是一个封闭的三边形，三边形的顶点D、E、F是截平面P与三条棱线的交点（图3-51a）。 作图：
1)补画完整三棱锥的H面投影和W面投影（图3-51a）。 2) 求交线的投影。
交线DEF构成的截断面是正垂面，其V投影与P平面积聚的直线PV重合。 PV与三棱线s′a′、s′b′、s′c′的交点d′、e′、f′是交线的三个顶点D、E、F的V面投影。根据直线上点的投影特征，由d′、e′、f′求出d″、e″、f″及d、e、f。再将各棱面上两交点的同面投影按可见性依次相连即得交线的三面投影（图3-51b）。
3) 判断立体存在域， SD、SE、SF被切割掉，擦去它的三面投影，加粗可见轮廓线的投影，完成所求（图3-51c）。
〔例3-20〕完成图3-52a所示切割四棱柱的H面投影和W面投影。
图3-52 完成切割四棱柱的投影
分析：
四棱柱的上部被一个正垂面Q和一个侧平面P切割。正垂面Q与四个棱面相交，交线是一个五边形ABCDE；侧平面P与右侧两棱面及顶面相交，交线是一个四边形GAEF；两组交线的公共边AE是两个截平面彼此的交线（图3-52a）。 作图：
1） 补画完整四棱柱的H面、W面投影（图3-52a）。 2） 求立体切割后产生交线的投影：
◆求平面P产生交线GAEF的投影：交线GAEF构成的截断面是侧平面。因此，交线的V面投影与PV重合，H面投影与PH重合。由交线的V面投影（g′f′、g′a′、f′e′、a′e′）和H面投影（gf、ga、fe、ae）求出交线的W面投影g″f″、g″a″、f″e″、a″e″，W面投影可见（图3-52b）。
◆求平面Q产生交线ABCDE的投影：交线ABCDE构成的截断面是正垂面。因此，交线的V面投影与Qv重合，交线的H面投影与四个棱面H面投影重合。由交线的V面投影（a′b′、b′c′、c′d′、d′e′）和H面投影（ab、bc、cd、de）求出交线的W面投影a″b″、b″
c″、c″d″、d″e″，W面投影可见（图3-52c）。交线AE的投影上述已求。 3) 判断切割后立体的存在域：
该四棱柱被切割后，左侧棱线及前、后棱线的上部被切掉不存在。因此，擦去V面投影及W面投影中相应部分的投影，加粗其余可见轮廓线的投影完成所求（图3-52d）。注意：由于W面投影中左侧棱线与右侧棱线的投影重合，因此，在左侧棱线的切割部分，右侧棱线的投影应用细虚线画出。
〔例3-21〕完成图3-53a所示切割四棱台的H面投影和W面投影。
图3-53 完成切割四棱台的投影
分析：
四棱台的顶部被两个左右对称的侧平面P1、P2和一个水平面Q切割一通槽。水平面Q与四棱台底面平行，因此，它与四个棱面的交线是水平线，分别平行于四棱台底面四边形的四条边。侧平面P1、P2与棱面的交线是侧平线，分别平行于前、后棱线；与顶面的交线是正垂线（图3-53a）。 作图：
1) 补画完整四棱台的H面、W面投影（图3-53a） 2) 求立体切割后产生交线的投影：
◆求平面Q产生交线的投影：平面Q产生的交线是一六边形（其截断面为水平面），该交线的V面投影与QV重合，W面投影与QW重合。将平面Q与前棱线的交点记为A，由a′、a″求出a，过a作四棱台底面四边形四条边的平行线，由此可完成该交线的H面投影（图3-53b）。 ◆求平面P1、P2产生交线的投影：平面P1产生的交线是一四边形（其截断面为侧平面），该交线的V投影与P1V重合，H面投影与P1H重合。由上述平面Q产生交线的端点B、E的W面投影b″、e″作前、后棱线的平行线，可完成该交线的W面投影（图3-53c）。同理可求平面P2产生交线的投影。注意：由于平面P1、P2对称，因此，产生的交线W面投影完全重合（图3-53d）。
3) 判断立体切割后的存在域：
擦去切割后不存在的棱线、棱面投影，加粗可见轮廓线的投影，完成所求（图3-53d），注意：水平面Q的侧面投影b″e″段不可见，应画成细虚线。
工程制图 第三章3-3
