化三点共线为向量共线
本文首先利用共线向量的思想，佐证出关于三点共线问题的解决方法，启迪了学生的思维和拓展了学生的解题思路，同时，通过具体例题，对新结论加以应用。
例 如图，A，B，C是平面内三个点，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上，则存在实数?，使得PC=?PA+（1-?）PB．
证法探究：
分析： 初看欲证目标，始感实难下手。我们不妨从结论出发探寻线路，欲证PC=?PA+（1-?）PB，只需证
PC=?PA+PB-?PB?PC-PB=?（PA-PB）? BC=?BA?BC∥BA．这样证明思路有了。
证法：∵向量BC与向量BA共线，∴BC=?BA，即PC-PB=?（PA-PB），
PC=?PA+PB-?PB，∴PC=?PA+（1-?）PB．
证毕，再思考一下实数?的几何意义究竟如何。考察向量等式BC=?BA，结合图形，易知，当点C在线段AB上时，则BC与BA同向，有0≤?≤1；当点C在线段AB延长线上时，则BC与BA反向，有?<0；当点C在线段BA延长线上时，则BC与BA同向，有?＞1．
此例题逆命题亦成立，即
已知A，B，C是平面内三个点，P是平面内任意一点，若存在实数?，?，有
PC=?PA+?PB，且?+?=1，则A，B，C三点共线．
故此逆命题可作三点共线判定方法。
为方便起见，我们将两命题作为性质叙述如下：
性质1：已知A，B，C是平面内三个点， P是平面内任意一点，若A，B，C三点共线，则存在实数?，使得PC=?PA+（1-?）PB．
或叙述为：已知A，B，C是平面内三个点， P是平面内任意一点，若A，B，C三
点共线，则存在实数?，?，使得PC=?PA+?PB，则有?+?=1．
性质2：已知A，B，C是平面内三个点，P是平面内任意一点，若存在实数?，?，有PC=?PA+?PB，且?+?=1，则A，B，C三点共线．
三点共线性质在解题中的应用
例1．如图，在?ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若AB=mAM，AC=nAN，则m?n的值为 ．
解析：连结AO，因为点O是BC的中点，所以有AO=1AB?1AC=mAM?nAN，
2222又因为M、O、N三点共线，所以
1111m?n?1，故m?n?2． 22点评：因为点O是BC的中点，所以?=求出m?n的值．
例2 如图2，在△ABC中，AN?则实数m的值为（ ）
A．
|CO||CB|?11，由性质1，?=1-?=，简便2212点P是BC上的一点，若AP?mAB?NC，AC，
3119532 B. C. D. 11111111
解：又
B,P,N三点共线，
228AC?mAB??4AN?mAB?AN 11111183?m??1 ?m?，故选C
1111AP?mAB?例3 所示：点G是△OAB的重心，P、Q分别是边OA、OB上的动点，且P、G、
Q三点共线．设OP?xOA，OQ?y OB，证明：
11?是定值； xy
证明：
因为G是OAB的重心，?OG?211?(OA?OB)?(OA?OB) 323OP?xOA1?OA?OP OQ?yOBx?OB?1OQ y1111?OG?(OA?OB)?(OP?OQ)33xy又
?OG?11OP?OQ3x3y
P,G,Q三点共线，?111111??1 ???3 ??为定值3
xy3x3yxy例4．如图，在?ABC中，OC?1OA，OD?1OB，AD与BC交于M点，设
42OA?a,OB?b．
（Ⅰ）用a，b表示OM；
（Ⅱ）在已知线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M．设
OE?pOA，OF?qOB．求证：1?3?1．
7p7q
解析：(Ⅰ)因为B、M、C三点共线，所以存在实数m使得OM=mOC?(1?m)OB =m?11OA?(1?m)OB=ma?(1?m)b；又因为A、M、D三点共线，所以存在实数n441?m?n,?14使得OM=nOA?(1?n)OD=na?(1?n)b．由于a，b不共线，所以有?12?1?m?(1?n),2?4?m?,137,故OM=a?b． 解得，??177?n?．7?（Ⅱ）因为E、M、F三点共线，所以存在实数?使得OM=?OE?(1??)OF
1??p?,13?7??1． =?pa?(1??)qb．结合（Ⅰ），易得出?消去?得，
37p7q?(1??)q?,7?点评：本题是以a，b作为一组基底，其他向量都由它们线性表示．解（Ⅰ）中的实数
m，n的几何意义为：m=|BM|4|DM|1=，n==， m，n∈（0，1）；解（Ⅱ）中|BC|7|DA|7的实数?=|FM||FE|=
1． 7pAP?m，Q在线段AD上，PB例5．如图，平行四边形ABCD中，点P在线段AB上，且
且
AQPR?n，BQ与CP相交于点R，求的值． QDRC
PRPR?AP??BC+（1-=?，则=，BR=）BP．因为?m，
??1??1RCPC??1PB1?1BC+所以BP?1BA，且BR=·BA．
??1??1m?1m?1解析：设又
nAQAD=nBC，∴BQ?BA?AQ，即?n，∴AQ?QDn?1n?1BQ?nn1?BC?BA．又∵BR与BQ共线，∴?-=0，解得n?1??1n?1(??1)(m?1)?=
n．
(m?1)(n?1)点评：我们先要确定好一组基底BA,BC，看准BR,BQ如何由它们线性表示；而欲求
目标数值，因P,R,C三点共线，中途要以BP,BC作基底，BR由它们线性表出时，分析清楚该两基底系数所表示的几何意义，由性质1，得BR=
???1BC+（1-
???1）BP；最终BR与BQ都得转化到由BA,BC两基底线性表示，此时容易由共线向量性质列出等式，从而求
出结果．
例6所示,在平行四边形ABCD中，AE?11AB,AF?AD,CE与BF相交于G点，记
43AB?a，AD?b，则AG?_______
A．
21233142a?b B. a?b C. a?b D. a?b 77777777
分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F、G、B以及E,G,C三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。
解：
E,G,C三点共线，?由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x使得
AE??AG?xAE?(1?x)AC ,
11AB?a,AC?a?b 3312x?AG?x?a?(1?x)(a?b)?(1?)a?(1?x)b…………………①
33又
F,G,B三点共线，?由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数?使得
?AG??AB?(1??)AFAF?11AD?b， 441?AG??a?(1??)b…………… ②
462x??x???1???31??73由①②两式可得：? ?AG?a?b ??77?1???1?x???3??7?4?点评：本题的解法中由两组三点共线（F、G、B以及E,G,C三点在一条直线上），利用
平面内三点共线定理构造方程组求解，避免了用的向量的加法和平面向理基本定理解答本题的运算复杂，达到了简化解题过程的效果。
化三点共线为向量共线
