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习 题 一 （A）
1．解下列不等式，并用区间表示不等式的解集：
（1）x?4?7； （3）（5）
（2）1?x?2?3；
x?a??(??0)； （4）
（6）
ax?x0??(a,??0)；
x2?x?6?0； x2?x?2?0．
解：
．.j即(?3,11). 1)由题意去掉绝对值符号可得：?7?x?4?7，可解得?3?x?112）由题意去掉绝对值符号可得?3?x?2??1或1?x?2?3，可解得
?1?x?1,3?x?5.即(?1，1)?[3,5]
3）由题意去掉绝对值符号可得???x???,解得a???x?a??.即(a?? , a??)； 4）由题意去掉绝对值符号可得???ax?x0??,解得x0??a?x?x0??a，即(x0?? , x0??)
aa5）由题意原不等式可化为(x?3)(x?2)?0,x?3或x??2即(?? ， ?2）?（3， ??）. 6）由题意原不等式可化为(x?2)(x?1)?0,解得?2?x?1.既[?2 , 1].
２．判断下列各对函数是否相同，说明理由： （1）y?x与y?10lgx； （3）y?arcsin(sinx)与y?x；
（2）y?1?cos2x与2cosx；
（4）y?tan(arctanx)与y?x；
1?x（5）y?lg(x2?1)与y?lg(x?1)?lg(x?1)； （6）y?lg1?x与x?lg(1?x)?lg(1?x)．
解：1)不同，因前者的定义域为(?? , ??)，后者的定义域为(0 , ??)； 2)不同,因为当x?k??????13((2k?)? , (2k?)?)时， 1?cos2x?0,而2cosx?0；
223）不同，因为只有在[?? , ?]上成立；
224）相同；
5)不同，因前者的定义域为(?? , ?1)?(1 , ??))，后者的定义域为(1 , ??)；
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6）相同
3．求下列函数的定义域（用区间表示）： （1）y?（3）y?（5）y?lg(4?x)x?1；
5x?x2 （2）y? lg4；
1?x1?x2； （4）y?；
（6）y?3x?2?11?lg(5?x)； x?3x?4x?3x?11?lgx；
（7）y? 解：
12x?arccoslg 1?x； （8）y?arccos22x?17．
x?x?61)原函数若想有意义必须满足
(?? , ?1)?(1 , 4).
x?1?0和
4?x?0可解得
?x??1?? 1?x?4,即
5x?x22)原函数若想有意义必须满足?0,可解得 0?x?5,即(0 , 5).
43)原函数若想有意义必须满足1?x1?x?0,可解得 ?1?x?1,即(?1 , 1).
?x?2?0?2?x?34)原函数若想有意义必须满足?,即[ 2 , 3 ]?( 3 , 5 ),3]. ?x?3?0,可解得 ?3?x?5??5?x?0?x5)原函数若想有意义必须满足???2?4x?3?0??(x?3)(x?1)?0,可解得 ??x??1,即??? , 1??? 3 , ?? ?. x?3??x?0?0?x?106)原函数若想有意义必须满足?,即(0 , 10)?(10 , ??). ?x?0,可解得?x?10??1?lgx?0?7)原函数若想有意义必须满足1?102?x?0可解得0?x?1?10?2即[1?102 , 0)?(0 , 1?10?2] 8)原函数若想有意义必须满足x2?x?6?0,
2x?1?17可解得[ ?3 , ?2 ]?( 3 , 4 ).
4．求下列分段函数的定义域及指定的函数值，并画出它们的图形： （1）y????9?x2,2x?33?x?4??x?1,，求y(0) , y(3)；
.*
（2） 解：
?1x?0?x,?y??x?3 ,0?x?1??2x?1 ,1?x????，求y(?3) , y(0) , y(5)．
1）原函数定义域为：(?4 , 4)
y?(0)?3 y?(3)?8.图略
2)原函数定义域为：(?? , ??)
y(?3)??1 y?(0)??3 y(5)??9y(5)＝-9.图略 3
5．利用y?sinx的图形，画出下列函数的图形：
??(1)y?sinx?1； （2）y?2sinx； （3）y?sin??x??．
?6?解：y?sinx的图形如下 y 1
0 -1
π 2π
x
(1)y?sinx?1的图形是将y?sinx的图形沿沿y轴向上平移1个单位
2
y
1
0 ?2π 3?2
2π
x
(2)y?2sinx是将y?sinx的值域扩大2倍。
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y 2 yπ
0 -2
2
2π
?π
23? 2（3）y?sin(x??)是将y?sinx向
22移动?个单值。
6
y
1
??60 -1
5? 611?x
2
6．在下列区间中，函数f(x)?xsin(x?2)x(x?1)(x?2)2
无界的为（A）．
Ａ．(?1 , 0) B．(0 , 1) C．(1 , 2) D．(2 , 3) 解：
f(x)是基本初等函数的组合，在其定义域内是连续的。若要使f(x)有界，则
在其端点处极限值存在。
x??1limf(x)??sin31?sin3 2x918x?0limf(x)?sin2
故选A．
7．下列区间中，函数y?． x2?1为有界且单调减少的是（C）
A．(1 , ??) B．(?1 , 1) C．(?2 , ?1) D．(?3 , 0)
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解：7.C. 可画出函数图像判断，图略
8．指出下列函数单调增加和单调减少的区间： （1）y? 解：
（1）在[0 , 2]上?，在[2 , 4]上?； （2）在(?? , ??)上?； （3）在(0 , ??)上?；
（4）在(?? , 0)上?，在(0 , ??)上?． 9．设
f(x)x4x?x2； （2）y?x5?2 （3）y?x?log2x； （4）y?1?3x2．
在(0 , ??)上单调减少，a , b是任意正数，则有（C）．
f(a)?f(b) B．f(a?b)?f(a)?f(b)a?bA．f(a?b)?
Ｃ．f(a?b)?
解:C； ∵
f(a)?f(b) Ｄ．f(a?b)?f(a)?f(b)a?bf(a?b)f(a)f(a?b)f(b)??a?baa?bba?baf(a)f(b)?aa设a?b则
f(a?b)f(b)?a?baa
∴ 2f(a?b)? ∵ a?b ∴2f(a?b)?a?b[f(a)?f(b)]
?2 ∴f(a?b)?f(a)?f(b)
10．指出下列函数的奇偶性： （1）sinx?cosx； （2）xxx4?1?tanx；
（3）lg(x?1?x)；
2 （4）
ax?a?xax?a?x ； x?0 ，?1?x ，
1?x , x?0 .?（5）coslgx； （6）f(x)??
解：1）偶函数；f(?x)?sin(?x)?cos(?x)?sinx?cosx??xxf(x)
2）奇函数；f(?x)??x3）奇函数；f(?x)?1g(??x4?1?tan(?x)??xx4?1?tan(x)???f(x)
??x2?1?x)?1g1x?1?x2??f(x)
微积分课后题规范标准答案高等教学教育出版社
