-年高考数学一轮复习第八章解析几何课时达标曲线与方程
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2024-2024年高考数学一轮复习第八章解析几何课时达标53曲线与
方程
[解密考纲]求曲线的轨迹方程，经常通过定义法或直接法，在解答题的第(1)问中出现． 一、选择题
1．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则动点P的轨迹是( B )
A．直线 C．椭圆 解析 设P(x，y)，则
B．圆 D．双曲线
x＋2
2
2
2
＋y＝2
2
x－1
2
＋y，整理得x＋y－4x＝0，
222
又D＋E－4F＝16>0，所以动点P的轨迹是圆．
x2y252．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，
ab2
且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( B )
123
A．－＝1
810C．－＝1
54
x2y2
x2y2
B．－＝1
45D．－＝1
43
2
2
x2y2x2y2
x2y2
5b5xy解析 根据双曲线C的渐近线方程为y＝x，可知＝， ①又椭圆＋＝1的焦
2a2123点坐标为(3,0)和(－3,0)，所以a＋b＝9， ②根据①②可知a＝4，b＝5，故选B．
3．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是( D )
A．2x＋y＋1＝0 C．2x－y－1＝0
B．2x－y－5＝0 D．2x－y＋5＝0
2
2
2
2
解析 设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得Q点的轨迹方程为2x－y＋5＝0.
4．设圆(x＋1)＋y＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段
2
2
AQ的垂直平分线与 CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( D )
4x4yA．－＝1
21254x4yC．－＝1
2521
2
2
2
2
4x4yB．＋＝1
21254x4yD．＋＝1
2521
2
2
22
解析 ∵M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，
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∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5， 故M的轨迹是以定点C，A为焦点的椭圆， 521222
∴a＝，c＝1，则b＝a－c＝，
244x4y∴椭圆的标准方程为＋＝1.
2521
5．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与→→→→
点P关于y轴对称，O为坐标原点，若BP＝2PA，且OQ·AB＝1，则点P的轨迹方程是( A )
322
A．x＋3y＝1(x>0，y>0) 2322
C．3x－y＝1(x>0，y>0)
2
322
B．x－3y＝1(x>0，y>0) 2322
D．3x＋y＝1(x>0，y>0)
2
2
2
→→
解析 设A(a,0)，B(0，b)，a>0，b>0.由BP＝2PA，
3→→
得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，即a＝x>0，b＝3y>0，点Q(－x，y)，故由OQ·AB＝1，
232
得(－x，y)·(－a，b)＝1，即ax＋by＝1.将a，b代入ax＋by＝1得所求的轨迹方程为x2＋3y＝1(x>0，y>0)．
6．已知圆锥曲线mx＋4y＝4m的离心率e为方程2x－5x＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为( B )
A．4 C．2
22
2
2
2
B．3 D．1
2
2
1xy22
解析 ∵e是方程2x－5x＋2＝0的根，∴e＝2或e＝，mx＋4y＝4m可化为＋＝1，
24m当它表示焦点在x轴上的椭圆时，有
4－m1
＝，∴m＝3；当它表示焦点在y轴上的椭圆时，22
m－4116x2y24－m有＝，∴m＝；当它表示焦点在x轴上的双曲线时，可化为－＝1，有＝
234－m2m2，∴m＝－12，∴满足条件的圆锥曲线有3个，故选B．
二、填空题
7．已知△ABC的顶点 A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点
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C的轨迹方程是__－＝1(x>3)__.
916解析 如图，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，
x2y2
所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－
9＝1(x>3)． 16
8．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1,0)，B(2,2)，若点C满足OC＝OA＋t(OB－OA)，其中t∈R，则点C的轨迹方程是__2x－y－2＝0__.
??x＝t＋1，→→→→
解析 设 C(x，y)，则OC＝(x，y)，OA＋t(OB－OA)＝(1＋t,2t)，所以?
?y＝2t，?
x2
y2
→→→→
消
去参数t得点C的轨迹方程为y＝2x－2.
x2y2
9．P是椭圆2＋2＝1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，有一动点
abx2y2→→→
Q满足OQ＝PF1＋PF2，则动点Q的轨迹方程是 2＋2＝1 .
4a4b
解析 作P关于O的对称点M，连接F1M，F2M， 则四边形F1PF2M为平行四边形， →→→→→所以PF1＋PF2＝PM＝2PO＝－2OP. 1→→→→→
又OQ＝PF1＋PF2，所以OP＝－OQ，
2
y?→?x设Q(x，y)，则OP＝?－，－?，
2??2
??即点P坐标为?－，－?，又P在椭圆上， 2??2
xy 5
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