实验六：使用偏微分方程工具箱对电磁场的仿真 一、实验目的与要求
1. 掌握微分方程工具箱的使用方法； 2. 掌握使用偏微分方程工具箱分析电磁场。 二、实验类型 设计
三、实验原理及说明
偏微分方程的工具箱（PDE toolbox ）是求解二维偏微分方程的工具，MA TLAB 专门设计了一个应用偏微分方程的工具箱的演示程序以帮助使用者快速地了解偏微分方程的工具箱的基本功能。操作方法是在MA TLAB 的指令窗口键入pdedemos ，打开Command Line Demos 窗口，如图所示。
只要单击任意键就会使程序继续运行，直至程序运行结束。单击信息提示按钮（Info ）是有关演示窗口的帮助说明信息。8个偏微分方程的演示程序分别是泊松方程、亥姆霍兹方程、最小表面问题、区域分解方法、热传导方程、波动方程、椭圆型方程自适应解法和泊松方程快速解法。
（一）偏微分方程的工具箱的基本功能
偏微分方程的工具箱可以求解一般常见的二维的偏微分方程，其基本功能是指它能解的偏微分方程的类型和边值条件。用户可以不必学习编程方法仅仅在图形用户界面窗口进行操作，就能得到偏微分方程的数值解。
1．工具箱可解方程的类型
定义在二维有界区域?上的下列形式的偏微分方程，可以用偏微分方程工具箱求解：
椭圆型-??(c ?u +au =f 抛物型d ?u -??(c ?u +au =f ?t ?2u 双曲型d 2-??(c ?u +au =f ?t 本征值方程-??(c ?u +au =λdu
式中，u 是偏微分方程的解；c 、a 、d 、f 是标量复函数形式的系数，在抛物型和双曲型方程中，它们也可以是t 的函数，λ是待求的本征值。
当c 、a 、f 是u 的函数时，称之为非线性方程，形式为 -??(c (u ?u +a (u u =f (u
也可以用偏微分方程工具箱求解。 2．工具箱可解方程的边值条件
解偏微分方程需要的边值条件一般为下面两种之一：
狄里赫利(Diriclet边值条件 hu=r
广义诺曼(Generalized Neumann边值条件 n ?(c ?u +qu =g
式中，n 为边界外法向单位向量；h 、q 、r 、g 是在边界上定义的复函数。狄里赫利(Diriclet边值条件也称为第一类边值条件，广义诺曼(Generalized Neumann边值条件则称为第三类边值条件，如果q=0则称为第二类边值条件。
对于偏微分方程组而言，狄里赫利(Diriclet边值条件是 h 11u 1 + h12u 2 = r1 h 21u 1 + h22u 2 = r2
（二）工具箱的用户界面窗口
在指令窗键入pdetool 就打开了偏微分方程工具箱用户界面的窗口，如图所示。
窗口中第一行是菜单，包括File ，Edit ，Options ，Draw ，Boundary ，PDE ，Mesh ，Solve ，Plot ，Window ，Help 。
第二行是工具栏，第二行的最后是光标的坐标，为作图时选择位置使用。
第三行Set formula：是将画好的解方程的区域用公式表示。
窗口的主体部分（中间区域）是用作图方式确定方程的求解区域，x 、y 轴的范围用菜单“Option/Axes Limits??”对话框来选择。
窗口最下面是信息栏，对当前操作的内容进行提示。右下角是退出工具箱界面的按钮（Exit ）。
（三）用工具箱解偏微分方程的步骤
用偏微分方程工具箱解偏微分方程有两种方法： 一是在它的图形用户界面中进行操作。
另一是利用偏微分方程工具箱提供的指令编程计算。 工具箱解偏微分方程的步骤如下：
1. 设置定解问题。使用偏微分方程工具箱的用户界面中的三个模式： Draw 模式，画出求解方程的区域，如矩形、正方形、圆形、椭圆或它们的组合； Boundary 模式，定义求解的边值条件；
PDE 模式，定义求解所用的偏微分方程，主要是设定方程的类型及系数c 、a 、d 、f 。对不同的子区域和媒质要设置不同的系数加以区别。
2. 解偏微分方程。主要用到如下两个模式：
Mesh 模式，将求解区域划分为三角形网格，网格的参数根据要求可以改变； Solve 模式，求解偏微分方程。 3. 将结果可视化。
在Plot 模式下实现计算结果的可视化。
五、实验内容和步骤
（一）分析有限长空心圆柱导体内、外磁场分布规律
有限长空心圆柱导体内、外半径分别为R 1 、R 2 。电流沿圆周方向流动，在导体截面上均匀分布。采用圆柱坐标系，使z 轴与导体的轴线重合，导体截面上电流沿y 轴均匀分布。
（a ）
（b ）
（二）用偏微分方程工具箱来分析其周围的磁场分布
首先要绘出求解区域，以中心轴线对称画出两个矩形区域R 1 、R 2 代表导体截面，再在R 1 、R 2 之间画一个矩形R 3和整个平面上的一个大的矩形R 4代表导体周围空间，形如上图（b ）所示。选择应用模式为Magnetostatics 方式。
设置矩形的边界条件为狄里赫利(Diriclet边值条件，取h=1，r=0 。对R 1 、R 2区域选择解方程的类型为Eliptic ，参数分别为mu=0.9999*4*pi*1e-7 ，J= - 0.5和mu=0.9999*4*pi*1e-7 ，J= - 0.5 。对于R 3 、R 4区域选择解方程的类型为Eliptic ，参数均为mu=4*pi*1e-7 ，J= 0 。
进行二次网格初始化，单击Plot/parameters ?打开Plot selection对话框，选择作图的选项为contour 和Arrows ，单击Plot 得到圆柱导体周围的磁场分布图形，其中闭合实线代表的是矢量磁位A 线，箭头表示的是磁感应强度B 线。
（三）设计绘出求解区域及圆柱导体周围磁场分布图形。
电磁场中matlab仿真实现-工具箱
