习题三
1. 计算积分C?(x?y?ix)dz2,其中C为从原点到点1+i的直线段.
解 设直线段的方程为y?x,则z?x?ix. 0?x?1
22x?y?ixdz?x?y?ix????d(x?ix)??01101C1??ix2(1?i)dx?i(1?i)?x303故
2. 计算积分Cii?1?(1?i)?33
?(1?z)dz，其中积分路径C为
(1) 从点0到点1+i的直线段;
(2) 沿抛物线y=x2，从点0到点1+i的弧段. 解 (1)设z?x?ix. 0?x?1
C??1?z?dz???1?x?ix?d(x?ix)?i01
2(2)设z?x?ix. 0?x?1
C221?zdz?1?x?ixd(x?ix)???????012i3
3. 计算积分C?zdz，其中积分路径C为
(1) 从点-i到点i的直线段;
(2) 沿单位圆周|z|=1的左半圆周，从点-i到点i; (3) 沿单位圆周|z|=1的右半圆周，从点-i到点i. 解 (1)设z?iy. ?1?y?1
C?zdz??ydiy?i?ydy?i?1?111
3??i?(2)设z?e. ?从2到2
??i?C?i?2zdz??32?1de?i?3?de?2i22
3??i?z?e(3) 设. ?从2到2
?C?zdz???1de232i??2i
zC?z?e?sinz?dz,其中为
6. 计算积分?.
?z?e?sinz?dz??zdz??e?sinzdz 解 ?Cz?a?0zzCCCzz?a∵e?sinz在所围的区域内解析
∴
?Cez?sinzdz?0
2?从而
?C?z?ez?sinz?dz?22?0z?Czdz??adaei?0?ai?ei?d??0
?z?e故?C?sinz?dz?01C7. 计算积分（1）（4）
C1:z??12z(z?1)2dz,其中积分路径C为
32 （2）
32C2:z? （3）
C3:z?i?12
C4:z?i?
1解：（1）在
1z?22z(z?1)只有一个奇点z?0. 所围的区域内，
?1Cz(z?1)2dz??11111(????)dz?2?i?0?0?2?iC1z2z?i2z?i（2）在C2所围的区域内包含三个奇点
z?0,z??i.故
?1Cz(z?1)2dz??11111(????)dz?2?i??i??i?0C2z2z?i2z?i（3）在C2所围的区域内包含一个奇点
z??i,故
?1Cz(z2?1)dz?11111(????C3z2z?i2?z?i)dz?0?0??i???i（4）在C4所围的区域内包含两个奇点
z?0,z?i,故
?1Cz(z?1)2dz??11111(????)dz?2?i??i??iC4z2z?i2z?i
010.利用牛顿-莱布尼兹公式计算下列积分. (1) ?i??2i0zcosdz2
(2)
1???ie?zdz(2?iz)dz (3) ?
1ii2ln(z?1)dz?(4) 1z?1 (5)
1?tanzdz?0z?sinzdz (6) ?1cos2z
解 (1)
???2i0z1zcosdz?sin222??2i0?2ch1
(2)
??0?ie?zdz??e?z0??i??2
(3) (4) (5)
?i1(2?iz)2dz?1i1111ii(2?iz)2d(2?iz)??(2?iz)31????i1i333
iln(z?1)121?2i2?1z?1dz??1ln(z?1)dln(z?1)?2ln(z?1)1??8(4?3ln2) i?10z?sinzdz???zdcosz??zcosz10??coszdz?sin1?cos10011
ii1?tanz122i2idz?seczdz??1cos2z?1?1secztanzdz?tanz1?2tanz1112?2????tan1?tan1?th1??ith1?22?(6) 11. 计算积分
i?Cezdzz2?1,其中C为
(1)
z?i?1 (2)
z?i?1 (3)
z?2
解 (1)
?Cezdz?z2?1ezez?C(z?i)(z?i)dz?2?i?z?iz?i??ei ???e?i(2)
?Cezdz?z2?1ezez?C(z?i)(z?i)dz?2?i?z?iz??i
ezdz??Cz2?1(3) ezezi?idz??C1z2?1?C2z2?1dz??e??e?2?isin1
16. 求下列积分的值,其中积分路径C均为|z|=1.
(1)
ez?Cz5dz
(2)
?zcosz2dz,z?1dz?C(z?z0)202Cz3 (3)
tan解 (1)
ez2?iz(4)dz?(e)?Cz54!(2)
z?0??i12
cosz2?i(2)dz?(cosz)?Cz32!(3)
z?0???i
zdz?2?i(tanz)'2?C(z?z20)tanz?z0??isec2z02
1?C(z?1)3(z?1)3dz17. 计算积分,其中积分路径C为 (1)中心位于点z?1,半径为R?2的正向圆周 (2) 中心位于点z??1,半径为R?2的正向圆周
解：(1)
C内包含了奇点z?1
z?112?i1(2)dz?()33?C2!(z?1)3∴(z?1)(z?1)(2)
C?3?i8
内包含了奇点z??1,
z??1??12?i1dz?()(2)3?C(z?1)3(z?1)32!(z?1)∴
19. 验证下列函数为调和函数.
3?i8
(1)??x3?6x2y?3xy2?2y3;(2)??excosy?1?i(exsiny?1).
解(1) ∴
设w?u?i?,u?x3?6xy?3xy?2y223 ??0
?u?u22??6x2?6xy?6y2?3x?12xy?3y?x ?y
?2u?2u??6x?12y?6x?12y22?x ?y
从而有
?2u?2u??0?x2?y2,w满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.
xx??e?siny?1 u?e?cosy?1w?u?i?(2) 设,
?u?ux??ex?siny?e?cosy∴?x ?y
2?ux?2ux??e?cosy?e?cosy22?x ?y
从而有
?2u?2u??0?x2?y2,u满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.
????x?ex?cosy?e?siny?x ?y
2???2?x??siny?ex?e?siny2?x2 ?y
?2??2???0?x2?y2,?满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.
22u?x?y20.证明:函数,
??xx2?y2都是调和函数,但f(z)?u?i?不是解析函数
证明:
2?2u?u?u?u??2??2y?2x?222?x ?y ?x ?y
?2u?2u?2?02?y∴?x,从而u是调和函数.
???2xy??y2?x2???x(x2?y2)2 ?y(x2?y2)2
复变函数与积分变换(修订版-复旦大学)课后的第三章习题答案
