22??5?4245?42?4x?y?4由方程组? 解得x? ,y?33??y??x?5所以M点的坐标为(?5?4245?42,).
33?4的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交
9、如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为
抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程和△AMN的最大面积
解法一 由题意，可设l的方程为y=x+m,其中－5＜m＜0 yN?y?x?m由方程组?,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0 ①∵直线l与
2?y?4x抛物线有两个不同交点M、N，∴方程①的判别式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0, 解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为(－5，0) 设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4－2m，x1·x2=m2,∴|MN|=4
oMBAx2(1?m) 点A到直线l的距离为d=5?m2
2∴S?=2(5+m)
1?m,从而S2??2?2m?5?m?5?m??4?1?m??5?m??2?2?2m??5?m??5?m??2???128
3??2∴S??82,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号 故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为82 10、设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k＞0)与椭圆相交于E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值．
x2
解 依题设得椭圆的方程为＋y2＝1.直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx(k＞0)．
4设E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1＜x2， 且x1，x2满足方程(1＋4k2)x2＝4，故x2＝－x1＝
2
.① 1＋4k2根据点到直线的距离公式和①式，得点E，F到AB的距离分别为
|x1＋2kx1－2|2?1＋2k＋1＋4k2?|x2＋2kx2－2|2?1＋2k－1＋4k2?h1＝＝，h2＝＝，
555?1＋4k2?5?1＋4k2?又|AB|＝22＋1＝5，所以四边形AEBF的面积为 4?1＋2k?2?1＋2k?11
S＝|AB|(h1＋h2)＝·5·＝＝2
225?1＋4k2?1＋4k21＋4k2＋4k
≤22，
1＋4k21
当2k＝1，即k＝时，取等号．所以四边形AEBF面积的最大值为22.
2三、切线法
x22
【例2】?求椭圆＋y＝1上的点到直线y＝x＋23的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标．
2解 设椭圆的切线方程为y＝x＋b，代入椭圆方程，得3x2＋4bx＋2b2－2＝0. 由Δ＝(4b)2－4×3×(2b2－2)＝0，得b＝±3. 当b＝3时，直线y＝x＋3与y＝x＋23的距离d1＝解得x＝－
6
，将b＝3代入方程3x2＋4bx＋2b2－2＝0， 2
2336233?，此时y＝，即椭圆上的点?－到直线y＝x＋23的距离最小，最小值是； ，3323??3
6
36
当b＝－3时，直线y＝x－3到直线y＝x＋23的距离d2＝，将b＝－3代入方程3x2＋4bx＋2b2－2＝0，
2解得x＝
23336233?，此时y＝－，即椭圆上的点?到直线y＝x＋23的距离最大，最大值是. ，－3323??3
7
圆锥曲线中的最值问题
一、圆锥曲线定义、性质
x2y2
1.(文)已知F是椭圆＋＝1的一个焦点，AB为过其中心的一条弦，则△ABF的面积最大值为( )
259A．6 B．15 C．20 D．12
2、若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( ) A．1 B.2 C．2 D．22
x2y2
3、(文)(2011·山东省临沂市质检)设P是椭圆＋＝1上一点，M、N分别是
259两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为( )
A．9,12 B．8,11 C．8,12 D．10,12
4、(2010·福州市质检)已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是( )
A．5 B．8 C.17－1
D.5＋2
x2y2
5、已知点F是双曲线－＝1的左焦点，定点A的坐标为(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|
412的最小值为________．
6、已知直线l1:4x?3y?6?0和直线l2:x??1，抛物线y2?4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（ ） A.2 B.3 C.
1137 D. 516二、目标函数法
x2y2
1、椭圆＋＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时，
925点P的坐标是________．
x22
2、设F1、F2分别是椭圆＋y＝1的左、右焦点．
4
→→
(1)若P是该椭圆上的一个动点，求PF1·PF2的最大值和最小值；
3．(2011·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)已知双
→→2
y
曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则PA1·PF2的最小值为( )
3
81
A．－2 B．－ C．1
16
D．0
x2y2
4．(2011·安徽模拟)点A、B分别为椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭
3620圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.
(1)求点P的坐标；
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最
8
小值．
→→
5．(文)已知点A(2,0)、B(4,0)，动点P在抛物线y2＝－4x上运动，则AP·BP取得最小值时的点P的坐标是______．
6、 如图，已知抛物线E:y2?x与圆M:(x?4)2?y2?r2(r?0)相交于A、
B、C、D四个点。
（Ⅰ）求r的取值范围 （Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标。
x2y27、已知直线x?2y?2?0经过椭圆C:2?2?1(a?b?0)
ab的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S和椭圆C上位于x轴上方的动点，直线，AS,BS与直线l:x?分别交于M,N两点。
（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求线段MN的长度的最小值； 8、已知以原点O为中心的双曲线的一条准线方程为x?率e?5．
（Ⅰ）求该双曲线的方程；
（Ⅱ）如题（20）图，点A的坐标为(?5,0)，B是圆x2?(y?5)2?1上的点，点M在双曲线右支上，求MA?MB的最小值，并求此时M点的坐标；
9、如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为
10 35，离心5?4的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程和△AMN的最大面积
yN10、设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k＞0)与椭圆相交于E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值． 三、切线法
x22
求椭圆＋y＝1上的点到直线y＝x＋23的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭
2圆上点的坐标．
oMBAx 9
圆锥曲线中的最值问题
