圆锥曲线中的最值问题
一、圆锥曲线定义、性质
x2y2
1.(文)已知F是椭圆＋＝1的一个焦点，AB为过其中心的一条弦，则△ABF的面积最大值为( )
259A．6 B．15 C．20 D．12 11
[答案] D [解析] S＝|OF|·|y1－y2|≤|OF|·2b＝12.
22
2、若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )
A．1 B.2 C．2 D．22
x2y2
解析：设椭圆2＋2＝1(a>b>0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短
abb2＋c2a221
轴端点，∴S＝×2c×b＝bc＝1≤＝.∴a≥2.∴a≥2.∴长轴长2a≥22，故选D.
222
x2y2
3、(文)(2011·山东省临沂市质检)设P是椭圆＋＝1上一点，M、N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的
259点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为( )
A．9,12 B．8,11 C．8,12 D．10,12 解析：由已知条件可知两圆的圆心恰是椭圆的左、右焦点，且|PF1|＋|PF2|＝10， ∴(|PM|＋|PN|)min＝10－2＝8，(|PM|＋|PN|)max＝10＋2＝12，故选C.
点评：∵圆外一点P到圆上所有点中距离的最大值为|PC|＋r，最小值为|PC|－r，其中C为圆心，r为半径，故只要连接椭圆上的点P与两圆心M、N，直线PM、PN与两圆各交于两点处取得最值，最大值为|PM|＋|PN|＋两圆半径和，最小值为|PM|＋|PN|－两圆半径和．
4、(2010·福州市质检)已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是( )
A．5 B．8 C.17－1
D.5＋2
[答案] C [解析] 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0,4)，设点P到抛物线的准线距离为d，根据抛物线的定义有d＝|PF|，∴|PQ|＋d＝|PQ|＋|PF|≥(|PC|－1)＋|PF|≥|CF|－1＝17－1.
x2y2
5、已知点F是双曲线－＝1的左焦点，定点A的坐标为(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
412解析 如图所示，根据双曲线定义|PF|－|PF′|＝4，即|PF|－4＝|PF′|.又|PA|＋|PF′|≥|AF′|＝5， 将|PF|－4＝|PF′|代入，得|PA|＋|PF|－4≥5，即|PA|＋|PF|≥9，等号当且仅当A，P，F′三点共线， 即P为图中的点P0时成立，故|PF|＋|PA|的最小值为9.故填9.答案 9 6、已知直线l1:4x?3y?6?0和直线l2直线l2的距离之和的最小值是（ ） A.2 B.3 C.【解析1】直线l2
:x??1，抛物线y2?4x上一动点P到直线l1和
1137 D. 516:x??1为抛物线y2?4x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P1
到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题化为在抛物线
y2?4x上找一个点P使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最
?|4?0?6|?2，故选择A。
5小，最小值为F(1,0)到直线l1:4x?3y?6?0的距离，即dmin【解析2】如图，由题意可知d?|3?1?0?6|3?422?2【答案】A
二、目标函数法
x2y2
1、椭圆＋＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时，点P的坐标
925是________．
解析：设椭圆上点P到两焦点的距离分别为u、v，则u＋v＝10，uv＝m；设∠F1PF2＝θ，由余弦u2＋v2－?2c?218
定理可知cosθ＝，即u2＋v2－2uvcosθ＝64?m＝，显然，当P与A或B重合
2uv1＋cosθ时，m最大．答案：(－3,0)或(3,0)
x2
2、设F1、F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点．
4
→→
(1)若P是该椭圆上的一个动点，求PF1·PF2的最大值和最小值；
[解析] (1)由已知得：F1(－3，0)，F2(3，0)，
→→
x2x2322222
设点P(x，y)，则＋y＝1，且－2≤x≤2.所以PF1·PF2＝x－3＋y＝x－3＋1－＝x－2，
444
→
→
→→
当x＝0，即P(0，±1)时，(PF1·PF2)min＝－2；当x＝±2，即P(±2,0)时，(PF1·PF2)max＝1.
y2
3．(2011·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)已知双曲线x－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，
3
2
→→
P为双曲线右支上一点，则PA1·PF2的最小值为( )
81
A．－2 B．－ C．1
16
D．0
→→
[答案] A [解析] 由已知得A1(－1,0)，F2(2,0)．设P(x，y)(x≥1)，则PA1·PF2＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝4x2－x－
→→
5.令f(x)＝4x2－x－5，则f(x)在x≥1上单调递增，所以当x＝1时，函数f(x)取最小值，即PA1·PF2取最小值，最小值为－2.
x2y24．(2011·安徽模拟)点A、B分别为椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x
3620轴上方，PA⊥PF.
(1)求点P的坐标；
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
→
→
[解析] (1)由已知可得点A(－6,0)，F(4,0)，设点P的坐标是(x，y)，则AP＝(x＋6，y)，FP＝(x－4，y)．由已知得
2
xy??36＋20＝1????x＋6??x－4?＋y2＝0
22
3
消去y得，2x2＋9x－18＝0，∴x＝或x＝－6
2
353353
由于y>0，只能x＝，于是y＝，所以点P的坐标是(，)．
2222(2)直线AP的方程是x－3y＋6＝0
|m＋6||m＋6|
设点M的坐标是(m,0)，则M到直线AP的距离是，于是＝|m－6|，
22又－6≤m≤6，解得：m＝2
∵椭圆上的点(x，y)到点M的距离是d，
549
∴d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2＝(x－)2＋15，
9929
由于－6≤x≤6，所以当x＝时d取最小值15.
2
→→
5．(文)已知点A(2,0)、B(4,0)，动点P在抛物线y2＝－4x上运动，则AP·BP取得最小值时的点P的坐标是______． →→→→222
yyy2－y??，则AP＝－－2，y，BP＝－－4，y，AP·－－2[答案] (0,0) [解析] 设PBP＝444?4，y?
()()()(
y2
－－4＋4
)
y2＝
y452
＋y＋8≥8，当且仅当y＝0时取等号，此时点P的坐标为(0,0)． 162
6、 如图，已知抛物线E:C、D四个点。
y2?x与圆M:(x?4)2?y2?r2(r?0)相交于A、B、
（Ⅰ）求r的取值范围 （Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标。
解：（Ⅰ）将抛物线E:消去
y2?x代入圆M:(x?4)2?y2?r2(r?0)的方程，
y2，整理得x2?7x?16?r2?0
抛物线E:y2?x与圆M:(x?4)2?y2?r2(r?0)相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程（1）有两个
不相等的正根
?49?4(16?r2)?0?555?15?r??或r??r?4r?(,4). ∴?x1?x2?7?0即?。解这个方程组得2222???4?r?42?x1?x2?16?r?0?（II）设四个交点的坐标分别为
A(x1,x1)、B(x1,?x1)、C(x2,?x2)、D(x2,x2)。 ?7,x1x2?16?r2，r?(15,4) 2则由（I）根据韦达定理有x1?x2 3
则S?1?2?|x2?x1|(x1?x2)?|x2?x1|(x1?x2) 2?S2?[(x1?x2)2?4x1x2](x1?x2?2x1x2)?(7?216?r2)(4r2?15)
令16?r2?t，则S2?(7?2t)2(7?2t) 下面求S2的最大值。
方法2：设四个交点的坐标分别为
A(x1,x1)、B(x1,?x1)、C(x2,?x2)、D(x2,x2)
?x2?x1x2?x1，由t则直线AC、BD的方程分别为
y?x1?(x?x1),y?x1?x2?x1x2?x11) 4(x?x1)
解得点P的坐标为(x1x2,0)。设t?x1x2?16?r2及（Ⅰ）得t?(0,由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积S?1(2x1?2x2)|x1?x2| 2则S2?(x1?2x1x2?x2)[(x1?x2)2?4x1x2]将x1?x2?7，
x1x2?t代入上式，并令f(t)?S2，等
7f(t)?(7?2t)2(7?2t)??8t3?28t2?98t?343(0?t?)，
2∴
f`(t)??24t2?56t?98??2(2t?7)(6t?7)，令f`(t)?0得t?77，或t??（舍去） 62当0?t?7777时，f`(t)?0；当t?时f`(t)?0；当?t?时，f`(t)?0 6662?77时，f(t)有最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为(,0)。 66故当且仅当t7、已知直线
x?2y?2?0经过椭圆
x2y2C:2?2?1(a?b?0)
ab的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S和椭圆C上位于x轴上方的动点，直线，
AS,BS与直线l:x?10 3分别交于M,N两点。
（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求线段MN的长度的最小值； （解 方法一（I）由已知得，椭圆C的左顶点为
A(?2,0),上顶点为
x2?y2?1 D(0,1),?a?2,b? 1 故椭圆C的方程为4
4
（Ⅱ）直线AS的斜率k显然存在，且k?0，故可设直线AS的方程为y?k(x?2)，从而M(1016k,) 33?y?k(x?2)?2222由?x2得(1?4k)x?16kx?16k?4?0
2??y?1?416k2?42?8k2设S(x1,y1),则(?2),x1?得x1?21?4k1?4k2，从而
y1?4k1?4k2
110??y??(x?2)x???1012?8k24k??4k3?N(,?) ,),即S(又由得B(2,0)?，?10133k1?4k21?4k2?x??y????33k??故|MN|?16k1?33k又k，
?0,?|MN|?16k116k18??2?? 33k33k3当且仅当
16k1?33k，即k?118时等号成立 ?k?时，线段MN的长度取最小值 4438、已知以原点O为中心的双曲线的一条准线方程为x（Ⅰ）求该双曲线的方程； （Ⅱ）如题（20）图，点
?5，离心率e?5． 5A的坐标为(?5,0)，B是圆x2?(y?5)2?1上的
点，点M在双曲线右支上，求MA?MB的最小值，并求此时M点的坐标；
解 （Ⅰ）由题意可知，双曲线的焦点在
x轴上，故可设双曲线的方程为
，由准线方程为
x2y2?2?1(a?0,b?0)，设c?a2?b22abx?55得
ca25，由e?5得?5 解得a?1,c?5 从而b?2，?该双?ac5y2?1. 曲线的方程为x?42（Ⅱ）设点D的坐标为(5,0)，则点A、D为双曲线的焦点，|MA|?|MD|?2a?2
B是圆x2?(y?5)2?1上的点，其圆心为C(0,5)，
所以|MA|?|MB|?2?|MB|?|MD|≥2?|BD| ，半径为1，故|BD|≥|CD|?1?10?1 从而|MA|?|MB|≥2?|BD|≥10?1
10?1
当M,B在线段CD上时取等号，此时|MA|?|MB|的最小值为直线CD的方程为
y??x?5，因点M在双曲线右支上，故x?0
5
圆锥曲线中的最值问题
